2019版高考数学二轮复习中档大题保分练5.doc

中档大题保分练(05)‎ ‎(满分：46分　时间：50分钟)‎ 说明：本大题共4小题，其中第1题可从A、B两题中任选一题； 第4题可从A、B两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎1．(A)(12分)已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ 解：(1)由已知a1an＝S1＋Sn，可得 当n＝1时，a＝a1＋a1，‎ 可解得a1＝0，或a1＝2，‎ 由{an}是正项数列，故a1＝2．‎ 当n≥2时，由已知可得2an＝2＋Sn,2an－1＝2＋Sn－1，‎ 两式相减得，2(an－an－1)＝an.化简得an＝2an－1，‎ ‎∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n．‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝2n．‎ ‎(2)∵bn＝，代入an＝2n化简得bn＝＝，‎ ‎∴其前n项和Tn＝＝ ＝－．‎ ‎1．(B)(12分)(2018·北京顺义区二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＞c，a＝6，b＝5，△ABC的面积为9．‎ ‎(1)求cos C的值；‎ ‎(2)求c及sin B的值．‎ 解：(1)因为△ABC的面积S＝absin C，‎ 所以×6×5sin C＝9，所以sin C＝．‎ 因为b＞c，所以cos C＝．‎ ‎(2)在△ABC中，由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝13，‎ 所以c＝.又因为b＝5，sin C＝，‎ 4‎ 所以在△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝．‎ ‎2．(12分)如图，三棱锥DABC中，AB＝2，AC＝BC＝，△ADB是等边三角形且以AB为轴转动．‎ ‎(1)求证：AB⊥CD；‎ ‎(2)当三棱锥DABC体积最大时，求它的表面积．‎ ‎(1)证明：取AB的中点H，连接DH，CH，‎ ⇒‎ ⇒AB⊥CD．‎ ‎(2)解：V＝×S△ABC×h＝×1×h＝，‎ ‎∴若V最大，则h最大．‎ ‎∴平面ADB⊥平面ABC．‎ 此时S表＝S△ABC＋S△ADB＋S△ACD＋S△BCD＝1＋＋．‎ ‎3．(12分)距离2019年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺．高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系．为了了解考试时学生的紧张程度，对某校500名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：‎ 男 女 总计 正常 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ 焦虑 ‎270‎ ‎160‎ ‎430‎ 总计 ‎300‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎(1)根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？‎ ‎(2)若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率．‎ 4‎ 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.258‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 解：(1)假设该学校学生的考前焦虑与性别无关，‎ K2＝＝≈9.967＞6.635，‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关．‎ ‎(2)男生、女生分别抽取3人，4人．记为A1，A2，A3，B1，B2，B3，B4 ．‎ 基本事件为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，A3B2，A3B3，A3B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4．‎ 满足条件的有：A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，，A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，A3B2，A3B3，A3B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4．‎ ‎∴P＝＝＝．‎ ‎4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xOy中，过点P(－1，－2)的直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ·sin θ·tan θ＝2a(a＞0)，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若|PM|＝|MN|，求实数a的值．‎ 解：(1)∵(t为参数)‎ ‎∴直线l的普通方程为x－y－1＝0．‎ ‎∵ρsin θtan θ＝2a，∴ρ2sin2θ＝2aρcos θ，‎ 由得曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax．‎ ‎(2)∵y2＝2ax，∴x≥0，‎ 设直线l上的点M，N对应的参数分别是t1，t2(t1＞0，t2＞0)，‎ 则|PM|＝t1，|PN|＝t2，‎ ‎∵|PM|＝|MN|，∴|PM|＝|PN|，∴t2＝2t1，‎ 将代入y2＝2ax，‎ 得t2－2(a＋2)t＋4(a＋2)＝0，‎ ‎∴ 又∵t2＝2t1，∴a＝．‎ ‎4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲 4‎ 已知函数f(x)＝|x＋2|．‎ ‎(1)解不等式2f(x)＜4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m＞0，n＞0)，若关于x的不等式|x－a|－f(x)≤＋恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)不等式2f(x)＜4－|x－1|等价于2|x＋2|＋|x－1|＜4，即 或或 解得或{x|－2＜x＜－1}或∅，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎(2)因为|x－a|－f(x)＝|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|，‎ 所以|x－a|－f(x)的最大值是|a＋2|，‎ 又m＋n＝1(m＞0，n＞0)，‎ 于是(m＋n)＝＋＋2≥2＋2＝4，‎ ‎∴＋的最小值为4．‎ 要使|x－a|－f(x)≤＋的恒成立，则|a＋2|≤4，解此不等式得－6≤a≤2.所以实数a的取值范围是[－6,2]．‎ 4‎