2019版高考数学二轮复习中档大题保分练6.doc

中档大题保分练(06)‎ ‎(满分：46分　时间：50分钟)‎ 说明：本大题共4小题，其中第1题可从A、B两题中任选一题； 第4题可从A、B两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎1．(A)(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，an＞0，a1＝1，且满足S－2anan＋1＝an＋1Sn－2anSn．‎ ‎(1)求数列{an}的通项an；‎ ‎(2)求数列{nan}的前n项和Tn．‎ 解：(1)S－2anan＋1＝an＋1Sn－2anSn，‎ ‎∴(Sn＋2an)(Sn－an＋1)＝0，‎ ‎∵an＞0，∴Sn－an＋1＝0，即Sn＝an＋1；‎ 当n＝1时，a2＝1，当n≥2时，Sn－1＝an，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an，∴an＋1＝2an，‎ a1＝1，a2＝1，不满足上式，‎ 所以数列{an}是从第二项起的等比数列，其公比为2．‎ 所以an＝ ‎(2)当n＝1时，T1＝1，‎ 当n≥2时，Tn＝1＋2×20＋3×21＋…＋n×2n－2，‎ ‎2Tn＝1×2＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，‎ ‎∴－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n－2－n×2n－1＝－n2n－1，‎ ‎∴Tn＝(n－1)2n－1＋1．‎ ‎1．(B)(12分)(2018·广东六校联考)在△ABC中，B＝，BC＝2．‎ ‎(1)若AC＝3，求AB的长；‎ ‎(2)若点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足，ED＝，求角A的值．‎ 解：(1)设AB＝x，则由余弦定理有 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，‎ 即32＝x2＋22－2x·2cos ，‎ 4‎ 解得x＝＋1，所以AB＝＋1．‎ ‎(2)因为ED＝，‎ 所以AD＝DC＝＝．‎ 在△BCD中，由正弦定理可得＝．‎ 因为∠BDC＝2∠A，所以＝．‎ 所以cos A＝，所以∠A＝．‎ ‎2．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD中点．‎ ‎(1)求证：AD⊥面PNB；‎ ‎(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．‎ ‎(1)证明：∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，‎ 又∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD．‎ 又∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB．‎ ‎(2)解：∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝，‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥NB，‎ ‎∴S△PNB＝××＝．‎ ‎∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PNB，又PM＝2MC，‎ ‎∴VPNBM＝VMPNB＝VCPNB＝×××2＝．‎ ‎3．(12分)某地十万余考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[40,50)，第二组[50,60)，…，第六组[90,100]，作出频率分布直方图，如图所示：‎ 4‎ ‎(1)用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩；‎ ‎(2)现从及格(60分及以上)的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生(其中女生有34名)，已知成绩“优异”(超过90分)的女生有1名，能否有95%的把握认为成绩优异与性别有关？‎ 解：(1)根据题意，计算平均数为 ＝(45×0.01＋55×0.02＋65×0.03＋75×0.025＋85×0.01＋95×0.005)×10＝67．‎ ‎(2)[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]四组学生的频率之比为：‎ ‎0．3∶0.25∶0.1∶0.05＝6∶5∶2∶1，‎ 按分层抽样应该从这四组中分别抽取35,25,10,5人，‎ 依题意，可以得到下列2×2列联表：‎ 男生 女生 合计 优异 ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ 一般(及格)‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎65‎ ‎36‎ ‎34‎ ‎70‎ K2＝＝≈1.76＜3.841，‎ 对照临界值表知，不能有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关．‎ ‎4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝1－．‎ ‎(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C交于A，B两点，M是圆C上不同于A，B两点的动点，求△MAB面积的最大值．‎ 解：(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4，‎ 4‎ 直线l的方程可化为ρsin θ－ρcos θ＝－1，‎ 即直线l的直角坐标方程为x－y＋－1＝0．‎ ‎(2)圆心C到l的距离为d＝＝1，‎ 所以|AB|＝2＝2，‎ 又因为圆C上的点到直线 的距离的最大值为r＋d＝2＋1＝3，‎ 所以(S△MAB)max＝×|AB|×3＝×2×3＝3．‎ 即△MAB面积的最大值为3．‎ ‎4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲 已知a＞0，b＞0，且a2＋b2＝1，证明：‎ ‎(1)4a2＋b2≥9a2b2；‎ ‎(2)(a3＋b3)2＜1．‎ 证明：(1)∵a2＋b2＝1，‎ ‎∴4a2＋b2＝(4a2＋b2)(a2＋b2)＝4a4＋b4＋5a2b2≥4a2b2＋5a2b2＝9a2b2，，当且仅当b2＝2a2时，取得等号．‎ ‎(2)因为a＞0，b＞0，且a2＋b2＝1，‎ 所以a，b∈(0,1)，所以a3＜a2，b3＜b2，a3＋b3＜a2＋b2，‎ 所以(a3＋b3)2＜(a2＋b2)2＝1．‎ 4‎