2019版高考数学二轮复习中档大题保分练4.doc

中档大题保分练(04)‎ ‎(满分：46分　时间：50分钟)‎ 说明：本大题共4小题，其中第1题可从A、B两题中任选一题； 第4题可从A、B两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎1．(A)(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋2c)cos B＋bcos A＝0，b＝5．‎ ‎(1)求角B；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ 解：(1)∵(a＋2c)cos B＋bcos A＝0，由正弦定理可得：sin Acos B＋2sin Ccos B＋sin Bcos A＝0，‎ 即cos B＝－，又B∈(0，π)，则B＝π．‎ ‎(2)由△ABC的面积为，‎ ‎∴acsin B＝，则ac＝15，‎ 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B，得a＋c＝2，‎ 则周长a＋b＋c＝2＋5．‎ ‎1．(B)(12分)已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a3－1成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝2n－1＋an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与n2＋2n的大小．‎ 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵a1，a2，a3－1成等差数列，∴2a2＝a1＋(a3－1)＝a3，∴q＝＝2，‎ ‎∴an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)∵bn＝2n－1＋an，‎ ‎∴Sn＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n－1＋2n－1)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝·n＋＝n2＋2n－1．‎ 因为Sn－(n2＋2n)＝－1＜0，所以Sn＜n2＋2n．‎ ‎2．(12分)某代卖店代售的某种快餐，深受广大消费者喜爱，该种快餐每份进价为8元，并以每份12元的价格销售．如果当天19：00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理，且全部售完．‎ ‎(1)若这个代卖店每天定制15份该种快餐，求该种类型快餐当天的利润y 4‎ ‎(单位：元)关于当天需求量x(单位：份，x∈N)的函数解析式；‎ ‎(2)该代卖点记录了一个月30天的每天19：00之前的销售数量该种快餐日需求量，统计数据如下：‎ 日需求量 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ 天数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎3‎ 以30天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，假设这个代卖店在这一个月内每天都定制15份该种快餐．‎ ‎①求该种快餐当天的利润不少于52元的概率；‎ ‎②求这一个月该种快餐的日利润的平均数(精确到0.1)．‎ 解：(1)由题意得当x≥15时，y＝4×15＝60；‎ 当x＜15时，y＝4x－3(15－x)＝7x－45．‎ 所以y＝ ‎(2)由题意可得该种快餐的利润情况如下表：‎ 天数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎15‎ 利润 ‎39‎ ‎46‎ ‎53‎ ‎60‎ ‎①该种快餐当天的利润不少于52元的概率为P＝＝0.7．‎ ‎②这一个月该种快餐的日利润的平均数为 ≈53.5(元)．‎ ‎3．(12分)如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且PA⊥AB，AB∥DC，△PAD是等边三角形，AB＝AD＝2DC＝2，M为PB的中点．‎ ‎(1)求证：CM∥平面PAD；‎ ‎(2)求三棱锥PACM的体积．‎ ‎(1)证明：取PA的中点N，连接MN，DN. ‎ 由于M，N分别为PB，PA的中点，‎ 由题意知MN綊AB綊CD，‎ 则四边形CMND为平行四边形，所以CM∥DN，‎ 又CM⊄平面PAD，DN⊂平面PAD，‎ 所以CM∥平面PAD．‎ 4‎ ‎(2)解：由(1)知CM∥DN，△PAD是等边三角形，所以DN⊥PA，‎ 因为AB⊥AD，且PA⊥AB，且AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ 所以AB⊥平面PAD，‎ 又因为DN⊂平面PAD，所以DN⊥AB，‎ 又因为AB∩AP＝A，AB⊂平面ABP，‎ AP⊂平面ABP，则DN⊥平面ABP，‎ 即CM⊥平面ABP，CM为三棱锥CAPM的高，‎ CM＝DN＝，S△PAM＝S△PAB＝××2×2＝1，‎ VPACM＝VCPAM＝S△PAM×CM＝．‎ ‎4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝1，曲线C2的参数方程为(φ为参数)．‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；‎ ‎(2)直线l：y＝x与曲线C1交于A，B两点，P是曲线C2上的动点，求△PAB的面积的最大值．‎ 解：(1)因为曲线C1的极坐标方程为ρ＝1，‎ 则直角坐标方程为x2＋y2＝1；‎ 曲线C2的参数方程为(φ为参数)，‎ 则普通方程为＋y2＝1．‎ ‎(2)由题意知|AB|＝2，设P(2cos φ，sin φ)，‎ 点P到直线y＝x的距离为d＝，‎ 所以S△PAB＝|AB|×d＝×2×＝|sin(φ＋θ)|≤．‎ ‎4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲 ‎(1)已知a，b∈R，且|a|＜1，|b|＜1，求证：a2b2＋1＞a2＋b2．‎ ‎(2)若关于x的不等式|x－1|＋2|x－2|≤m有解，求实数m的取值范围．‎ ‎(1)证明：∵a2b2＋1－a2－b2＝a2(b2－1)＋(1－b2)＝(b2－1)(a2－1)，‎ 又a，b∈R，且|a|＜1，|b|＜1，‎ 4‎ ‎∴a2－1＜0，b2－1＜0，‎ ‎∴(b2－1)(a2－1)＞0，即a2b2＋1＞a2＋b2．‎ ‎(2)解：|x－1|＋2|x－2|≤m有解等价于m≥(|x－1|＋2|x－2|)min，‎ ‎|x－1|＋2|x－2|＝ 由单调性知：|x－1|＋2|x－2|≥1，所以m≥1．‎ 4‎