压轴大题拉分练(06)
(满分：24分 时间：30分钟)
1．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，△PF1F2的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，求证：＋为定值，并求出该定值．
解：(1)由已知，|PF1|2＋|PF2|2＝12，|PF1||PF2|＝1，
又2a＝|PF1|＋|PF2|，
∴4a2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16，a2＝4，
b2＝a2－c2＝4－()2＝1，
∴椭圆C的方程为：＋y2＝1．
(2)①当A，B是椭圆顶点时，＋＝．
②当A，B不是椭圆顶点时，
设lOA：y＝kx，lOB：y＝－x，
由得xA＝，|OA|2＝，
同理xB＝，|OB|2＝，
＋＝＋＝＝．
综上，＋为定值．
2．(12分)已知函数f(x)＝aln x＋(1－a)x＋(a∈R)．
(1)a＞1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)设∃m，n∈[1,3]，使不等式|f(m)－f(n)|＞(k＋ln 3)(2－a)－2ln 3对任意的a∈(2,4)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)已知函数定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋1－a
＝＝，
2
已知a＞1，令f′(x)＝0，x1＝1，x2＝，
当a＝2时，x1＝1＝x2，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上递减；
当1＜a＜2时，x2＝＞x1＝1，
∴f(x)在(0,1)上递减，在上递增，在上递减；
当a＞2时，x1＝1＞x2＝，∴f(x)在上递减，在上递增，在(1，＋∞)上递减．
(2)由(1)知，当a∈(2,4)时，f(x)在(1，＋∞)上递减，
当x∈[1,3]时，f(x)max＝f(1)＝1－a＋1＝2－a，
f(x)min＝f(3)＝aln 3＋＋3－3a＝aln 3－3a＋，
原问题等价于：对任意的a∈(2,4)，恒有(k＋ln 3)(2－a)－2ln 3＜2－a－成立，
即k＞＝＝＝－2－，
当a＝4时，取得最大值－，
∴k＞－．
2
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