压轴大题拉分练(02)
(满分：24分 时间：30分钟)
1．(12分)如图所示，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M是抛物线上第一象限的点，直线l与抛物线相切于点M．
(1)过M作HM垂直于抛物线的准线于点H，连接MF，求证：直线l平分∠HMF；
(2)若p＝1，过点M且与l垂直的直线交抛物线于另一点Q，分别交x轴、y轴于A、B两点，求＋的取值范围．
(1)证明：设M(2pt2,2pt)(t＞0)则H，
直线HF的斜率k1＝＝－2t，
由y2＝2px(p＞0)得y＝，
∴直线l的斜率k2＝·＝，
∴k1·k2＝(－2t)·＝－1，∴l⊥HF．
又由抛物线定义|MF|＝|MH|，∴l平分∠HMF．
(2)解：当p＝1时，M(2t2,2t)，
AB的方程：y－2t＝－2t(x－2t2)，
∴A(1＋2t2,0)，B(0,2t＋4t3)．
∴＝＝＝2t2＋1，
由⇒ty2＋y－4t3－2t＝0，
∴2t＋yQ＝－⇒yQ＝－2t－，
∴＝＝＝，
∴＋＝2t2＋1＋
＝2t2＋2t2＋1＝4t2＋1∈(1，＋∞)．
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2．(12分)已知函数f(x)＝x2－ax－ln x(a∈R)．
(1)当a＝－3时，求f(x)的单调递减区间；
(2)对任意的a∈(－3，－2)，及任意的x1，x2∈[1,2]，恒有|f(x1)－f(x2)|＜ln 2－ta成立，求实数t的取值范围．
解：(1)f(x)＝－x2＋3x－ln x，
f′(x)＝－2x＋3－＝－，
∴f(x)的递减区间为，(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝(a＋1)x－a－
＝＝，
由a∈(－3，－2)知－∈，
∴f(x)在[1,2]上递减，
∴f(1)－f(2)＜ln 2－ta，－－＋ln 2＜ln 2－ta，
∴(2t－1)a＜3，
t＞＋对a∈(－3，－2)恒成立，∴t≥0．
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