压轴大题拉分练(03)
(满分：24分 时间：30分钟)
1．(12分)已知圆O的方程为x2＋y2＝4，若动抛物线C过点A(－1,0)，B(1,0)，且以圆O的切线为准线，F为抛物线的焦点，点F的轨迹为曲线C′．
(1)求曲线C′的方程；
(2)过点B作直线L交曲线C′与P、Q两点，P、P′关于x轴对称，请问：直线P′Q是否过x轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E的坐标．
解：(1)设直线m和圆O相切与点M，过A、B分别向直线m作垂线，垂足分别为A′、B′，则AA′＋BB′＝2OM，由抛物线定义可知，AA′＝AF，BB′＝BF，所以AF＋BF＝2OM＝4，由椭圆的定义可知，点F的轨迹为以A、B为焦点，以4为长轴的椭圆，方程为＋＝1．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P′(x1，－y1)，
直线P′Q的方程为y－y2＝(x－x2)，
令y＝0，x＝，
设直线L：x＝ny＋1，
则x＝＝.(*)
联立直线和椭圆方程(3n2＋4)y2＋6ny－9＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
代入(*)式得：x＝4，
所以直线P′Q过x轴上的定点E(4,0)．
2．(12分)已知函数f(x)＝．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[0,2]时，f(x)≥－x2＋2x＋m恒成立，求m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R}，
f′(x)＝，∵ex＞0，由f′(x)＜0，
解得x＜1或x＞2；f′(x)＞0，解得1＜x＜2，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，
单调递增区间为(1,2)．
(2)∵f(x)≥－x2＋2x＋m在x∈[0,2]恒成立，
2
∴m≤f(x)＋x2－2x＝(x2－x＋1)·e－x＋x2－2x，
令g(x)＝(x2－x＋1)·e－x＋x2－2x，
则g′(x)＝－(x－2)(x－1)·e－x＋2(x－1)，
当x∈[0,1)时，g′(x)＝＜0；
当x∈(1,2)时，g′(x)＝＞0，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝－1，∴m≤－1．
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