压轴大题拉分练(01)
(满分：24分 时间：30分钟)
1．(12分)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为：F1(－2，0)，F2(2，0)，且双曲线C经过点P(4，2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线x＝上，且·＝0.是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．
解：(1)点P(4，2)在双曲线C上．
－＝1①，b2＝8－a2②
②代入①去分母整理得：a4－68a2＋32×8＝0，解得a2＝4，b2＝4．
∴所求双曲线C的方程为－＝1．
(2)设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(，t)，
其中x0＞2或x0＜－2．
当y0≠t时，直线AB的方程为y－t＝(x－)，
即(y0－t)x－(x0－)y＋tx0－y0＝0，
若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值．
设圆心O到直线AB的距离为d，
则d＝，
∵y0≠0，∴t＝－，又x－y＝4，
∴d＝＝＝2，
此时直线AB与圆x2＋y2＝4相切，
当y0＝t时，x0＝－，
代入双曲线C的方程并整理得t4－2t2－8＝0，
解得t＝±2，此时直线AB：y＝±2，也与圆x2＋y2＝4相切．
综上得存在定圆x2＋y2＝4与直线AB相切．
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2．(12分)已知函数f(x)＝aln x－2ax＋1．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)对任意的x≥1，不等式f(x)＋ex－1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝，
当a＞0时，令f′(x)＞0⇒0＜x＜，f′(x)＜0⇒x＞，
所以此时f(x)在区间递增，递减；
当a＜0时，令f′(x)＞0⇒x＞，f′(x)＜0⇒0＜x＜，
所以此时f(x)在区间递增，递减．
(2)令g(x)＝f(x)＋ex－1＝aln x－2ax＋1＋ex－1，x≥1，
∴g′(x)＝－2a＋ex－1，
令h(x)＝－2a＋ex－1，h′(x)＝，
令φ(x)＝x2ex－1－a，
显然φ(x)在x≥1时单调递增，
∴φ(x)≥φ(1)＝1－a．
当a≤1时，φ(x)≥φ(1)≥0，h′(x)≥0，h(x)在[1，＋∞)上递增，
所以h(x)≥h(1)＝1－a≥0，则g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上递增，
∴g(x)≥g(1)＝2－2a≥0，此时符合题意；
当a＞1时，φ(1)＜0，此时在[1，＋∞)上存在x0，使φ(x)在(1，x0)上值为负，
此时h′(x)＜0，h(x)在(1，x0)上递减，此时h(x)＜h(1)＝1－a＜0，
∴g(x)在(1，x0)上递减，
∴g(x)＜g(1)＝2－2a＜0，此时不符合题意；
综上a≤1．
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