压轴大题拉分练(04)
(满分：24分 时间：30分钟)
1．(12分)已知M是直线l：x＝－1上的动点，点F的坐标是(1,0)，过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N．
(1)求点N的轨迹C的方程；
(2)设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为(2,0)，直线AP与曲线C的另一个交点为B(B与A′不重合)，是否存在一个定点T，使得T，A′，B三点共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，|NM|＝|NF|，即曲线C为抛物线，
其焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，
所以曲线C的方程为y2＝4x．
(2)设A，则A′，
直线AP的斜率为kAP＝＝，
直线AB的方程为y＝(x－2)．
由方程组得
ay2－(a2－8)y－8a＝0．
设B(x0，y0)，则ay0＝－8，y0＝－，x0＝，所以B，
又A′，所以A′B的方程为y＋a＝－．
令y＝0，得x＝－2．
即直线A′B与x轴交于定点T(－2,0)．
因此存在定点T(－2,0)，使得T，A′，B三点共线．
2．(12分)已知a∈R，函数f(x)＝ex－ax.(e≈2.718 28…是自然对数的底数)
(1)求函数f(x)的单调区间；
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(2)若函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2ln x＋a)在区间内无零点，求a的最大值．
解：(1)∵f(x)＝ex－ax，∴f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，在f′(x)＞0上R恒成立，
f(x)增区间为(－∞，＋∞)，无减区间；
当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝ln a，
f(x)的增区间为(ln a，＋∞)，减区间为(－∞，ln a)．
(2)函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2ln x＋a)＝ax－2ln x－a，x∈，
∴F′(x)＝a－＝，
①当a≤0时，F′(x)＜0在上恒成立，函数F(x)在区间上单调递减，
则F(x)＞F＝－2ln －a＝ln 4－＞0，
∴a≤0时，函数F(x)在区间上无零点；
②当a＞0时，令F′(x)＝0得，x＝，
令F′(x)＞0，得x＞，
令F′(x)＜0，得0＜x＜，
因此，函数F(x)的单调递增区间是，单调递减区间是．
(ⅰ)当≥，即0＜a≤4时 ，函数F(x)的单调递减区间是，
∴F(x)＞F＝－2ln －a＝ln 4－．
要使函数F(x)在区间内无零点，则ln 4－≥0，
得a≤4 ln 2；
(ⅱ)当＜，即a＞4时，函数F(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，
∴F(x)min＝F＝2－2ln －a＝2－ln 4＋2ln a－a，
设g(a)＝2－ln 4＋2ln a－a，
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∴g′(a)＝－1＝＜0，
∴g(a)在(4，＋∞)上单调递减，
∴g(a)＜g(4)＝2－ln 4＋2ln 4－4＝ln 4－2＝2(ln 2－ln e)＜0，
而当x→＋∞时，F(x)→＋∞，
∴函数F(x)在区间内有零点，不合题意．
综上，要使函数F(x)＝f(x)－(ex－2ax＋2ln x＋a)在区间内无零点，则a的最大值为4ln 2．
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