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小题标准练(十二)
(40分钟 80分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.著名数学家欧拉发现了复数的三角形式: eix=cos x+isin x(其中i为虚数单位,i2=-1),根据这个公式可知,表示的复数在复平面中所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.因为=cosπ+isinπ=cosπ+isinπ=-+i,所以对应的点为在第二象限.
2.已知命题p:∀x∈R,x2+x-60
D.∃x∈R,x2+x-6,
由此可以说明,甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲的方差小,故乙比甲更优秀.
4.执行如图所示的程序框图,若输出的b的值为4,则图中判断框内①处应填 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
【解析】选A.当a=1时,b=1不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=2,a=2;当a=2时,b=2不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=4,a=3;当a=3时,b=4满足输出条件,故应退出循环,故判断框内①处应填a≤2.
5.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若cos A+sin A-=0,
则的值是 ( )
A.1 B. C. D.2
【解析】选B.由cos A+sin A-=0,
得sin·sin=2,
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即sinsin=1,又≤1,≤1,
所以sin=sin=1,A=B=,C=,所以a=b=c,=.
6.等差数列{an}中,a3=5,a4+a8=22,则的前20项和为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为a4+a8=22,a3=5,所以a1+2d=5,2a1+10d=22,解得a1=1,d=2,
an=2n-1,又因为==,所以其前20项和
Sn=1-+-+…+-=.
7.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为α++β-=α+β,
所以α+=(α+β)-,
所以tan=tan==.
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8.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4,记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意知,事件A所对应的线性约束条件为其对应的可行域如图中阴影部分所示,所以事件A的概率P(A)==.
9.已知x,y均为正实数,且+=,则x+y的最小值为 ( )
A.24 B.32 C.20 D.28
【解析】选C.
方法一:因为+=且x>0,y>0,所以x+y=6[(x+2)+(y+2)]-4=6·2++-4≥6·-4=20(当且仅当x=y=10时取等号).
方法二:因为+=,且x>0,y>0,由于[(x+2)+(y+2)]·≥(1+1)2=4.所以x+y+4≥24,x+y≥20,即x+y最小值为20(当且仅当x=y=10时取等号).
10.定义函数y=f(x),x∈D,若存在常数C,对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
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=C,则称函数f(x)在D上的均值为C.已知f(x)=lg x,x∈[10,100],则函数f(x)=lg x在x∈[10,100]上的均值为 ( )
A. B. C. D.10
【解析】选A.==C,从而对任意的x1∈[10,100],存在唯一的x2∈[10,100],使得x1x2为常数.充分利用题中给出的常数10,100.令x1x2=10×100=1000,当x1∈[10,100]时,x2=∈[10,100],由此得C==.
11.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′.若l′与椭圆x2+=1的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为的点P的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由已知求得l′:2x+y-2=0与椭圆两交点分别为长、短轴端点,其中A(0,2),B(1,0),所以|AB|=.所以顶点P到底边AB的距离h==.
设与直线l′平行且距离为的直线l″:2x+y+c=0(c≠-2).
由两平行直线间距离公式,得d===.所以c=-1或c=-3.
两平行线为2x+y-1=0,2x+y-3=0.
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联立①②对于方程组①,Δ1>0,直线与椭圆有两个交点.对于方程组②,Δ2
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