第2、3节太阳与行星间的引力__万有引力定律
1．推导太阳与行星之间的引力公式时用到的物理规律
有：开普勒行星运动定律、牛顿第二定律和牛顿第
三定律。
2．牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星
间的引力使得行星绕太阳运动。
3．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在
它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2
的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比，
这就是万有引力定律，其表达式为F＝G。
4．引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，是英国物理学家
卡文迪许利用扭秤实验测出的。
5．万有引力定律仅适用于两个质点间万有引力的计算，
对于不能看成质点的物体间仍存在万有引力，但万有
引力公式不能直接使用。
一、 太阳与行星间的引力
引力
规律
太阳对行星的引力
太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F∝。
行星对太阳的引力
行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F′∝。
太阳与行星间的引力
太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即F＝G，G为比例系数，其大小与太阳和行星的质量无关，引力的方向沿两者的连线。
二、万有引力定律
1．月—地检验
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(1)目的：验证月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，从而将太阳与行星间的引力规律推广到宇宙中的一切物体之间。
(2)原理：计算月球绕地球运动的向心加速度an，将an与物体在地球附近下落的加速度——自由落体加速度g比较，看是否满足an＝g。
(3)结论：数据表明，an与g相等，这说明地面物体受地球的引力、月球受地球的引力，以及太阳、行星间的引力，遵从相同的规律。
2．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)公式：F＝G。
(3)引力常量：上式中G叫引力常量，大小为6.67×10－11N·m2/kg2，它是由英国科学家卡文迪许在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。
1．自主思考——判一判
(1)公式F＝G中G是比例系数，与太阳行星都没关系。(√)
(2)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。(√)
(3)由于天体间距离很远，在研究天体间的引力时可以将它们视为质点。(√)
(4)月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡。(×)
(5)月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。(√)
(6)地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力。(×)
2．合作探究——议一议
(1)由G＝mg知，地面上的物体所受重力与地球的质量无关，对吗？
提示：不对，重力加速度g与地球的质量有关。地面上物体受到的重力近似等于地球对它的万有引力，即mg＝G，可得g＝G，其中M和R表示地球的质量和半径。
(2)如图所示，行星所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动是否符合同样的动力学规律？如果是，分析行星的受力情况。
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提示：行星与平常我们见到的做匀速圆周运动的物体一样，遵守牛顿第二定律F＝，行星所需要的向心力由太阳对它的引力提供。
对太阳与行星间的引力的理解
1．两个理想化模型
在公式F＝G的推导过程中，我们用到了两个理想化模型。
(1)由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
3．太阳与行星间的引力的特点
太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
4．公式F＝G的适用范围
我们在已有的观测结果(开普勒行星运动定律)和理论引导(牛顿运动定律)下进行推测和分析，所得出的结论不但适用于行星与太阳之间的作用力，而且对其他天体之间的作用力也适用。
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1．在牛顿发现太阳与行星间的引力过程中，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是( )
A．研究对象的选取 B．理想化过程
C．控制变量法 D．等效法
解析：选D 对于太阳与行星之间的相互作用力，太阳和行星的地位完全相同，既然太阳对行星的引力符合关系式F∝，依据等效法，行星对太阳的引力也符合关系式F∝，故D项正确。
2．绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，其向心力来源于( )
A．卫星自带的动力 B．卫星的惯性
C．地球对卫星的引力 D．卫星对地球的引力
解析：选C 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，是由万有引力提供向心力的，即地球对卫星的引力提供向心力，故C正确。
3．根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是( )
A．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
B．F和F′大小相等，是一对平衡力
C．F和F′大小相等，是同一个力
D．由F∝和F′∝知F∶F′＝m∶M
解析：选A 行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星做圆周运动的向心力，故A正确；根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力，故两个力的大小相等方向相反，故B、D错误；太阳对行星的引力受力物体是行星，行星对太阳的引力受力物体是太阳，故两个力不是同一个力，故C错误。
对万有引力定律的理解
1．对万有引力定律表达式F＝G的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10－11N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
(2)距离r：公式中的r
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是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝G的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的四个特性
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上。
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。
[典例] (多选)对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关
[思路点拨]
(1)万有引力定律是有适用条件的，即两个物体必须能看成质点。
(2)两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力。
[解析] 公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A对；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F＝G已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错，D对。
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[答案] AD
(1)任何两个物体间都存在着万有引力，只有质点间或能看成质点的物体间的引力才可以应用公式F＝G计算其大小。
(2)万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极小的，受力分析时可忽略。
1．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，半径分别为r1、r2。则两球的万有引力大小为( )
A．G B．G
C．G D．G
解析：选D 对两质量分布均匀的球体，F＝G中的r为两球心之间的距离。两球的万有引力F＝G，故D正确。
2．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不可采用的是( )
A．使物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的
解析：选D 根据F＝G可知，A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的，当距离和质量都减为原来的时，万有引力不变。选项D错误。
3．有两个大小一样、同种材料制成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间的万有引力将( )
A．等于F B．小于F
C．大于F D．无法比较
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解析：选B 根据题意令材料的密度为ρ，则两球的质量分别为ρπR3，根据万有引力定律有：
F＝＝；由题意可知，当球体半径R减小时，两球间的万有引力将减小，故B正确，A、C、D错误。
万有引力与重力的关系
1.万有引力和重力的关系：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。
2．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg
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