第4节万有引力理论的成就
1．若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等
于地球对物体的引力，即mg＝G，可得地球质
量M＝，该公式同样适用于其他天体。
2．根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要
测得某行星绕太阳运行的轨道半径r和周期T，就
可得太阳的质量为M＝。
3．英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家
勒维耶预言了海王星的存在，1846年9月23日晚，
德国的伽勒发现了被预言的海王星。
4．1705年英国天文学家哈雷正确预言了哈雷彗星的回
归。
一、计算天体的质量
称量地球的质量
计算太阳的质量
方法
重力加速度法
环绕法
理论依据
忽略地球自转影响，重力等于万有引力
万有引力提供向心力
mg＝G
G＝mr
结果
M＝
M＝
说明
(1)R为地球半径
(2)g为地球表面的重力加速度
(1)r为行星绕太阳做匀速圆周运动的半径
(2)T为行星绕太阳做匀速圆周运动的周期
(3)这两种方法同样适用于计算其他天体的质量
(4)求出天体的质量后，还可以进一步计算其密度
二、 发现未知天体
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应用万有引力定律可以计算天体的质量，还可以发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
1．自主思考——判一判
(1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力。(×)
(2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。(√)
(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。(×)
(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。(√)
(5)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。(√)
2．合作探究——议一议
(1)天体实际做什么运动？在处理问题时我们可以认为天体做什么运动？
提示：天体实际做椭圆轨道运动，而在处理相关问题时我们可以认为天体做匀速圆周运动。
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？
提示：能求出地球的质量。利用G＝m2r求出的质量M＝为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。
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天体质量和密度的计算
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
G＝m
M＝
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2
M＝
G＝mr
M＝
2．天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝。
特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。
[典例] 利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
[解析] 在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有＝mg，可得M＝
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，A项能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月球、地球做圆周运动的向心力，由＝，vT＝2πR，解得M＝；由＝m月2r，解得M＝；由＝M2r日，会消去两边的M；故B、C项能求出地球质量，D项不能求出地球质量。
[答案] D
求解天体质量和密度时的两种常见错误
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。
(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
1．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一可视为均匀球体的中子星，观测到它的自转周期为T＝ s，要维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解的最小密度ρ约是(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)( )
A．ρ＝1.27×1014 kg/m3
B．ρ＝1.27×1013 kg/m3
C．ρ＝1.27×1015 kg/m3
D．ρ＝1.27×1016 kg/m3
解析：选A 选赤道处质量为m的物体为研究对象，由万有引力提供向心力得：G＝mR，密度为：ρ＝＝ ，联立解得：ρ＝，代入数据解得：ρ＝1.27×1014 kg/m3，故A正确，B、C、D错误。
2．[多选]若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝
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B．月球的质量m月＝
C．月球的自转周期T＝
D．月球的平均密度ρ＝
解析：选AB 根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝G解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误。
天体运动的分析与计算
1．基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立牛顿第二定律方程G＝ma，式中a是向心加速度。
2．常用关系
(1)G＝m＝mrω2＝mr，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
(2)mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换。
[典例] 有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫做“矮行星”，而另外一些人把它们叫做“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比。
(2)它们的公转周期之比。
[解析] (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝＝。
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(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G＝m2r，
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π ，
则两天体绕太阳的公转周期之比＝。
[答案] (1) (2)
天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系
＝
1．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么，卫星的( )
A．速率变小，周期变小 B．速率变小，周期变大
C．速率变大，周期变大 D．速率变大，周期变小
解析：选D 人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有G＝m＝mr得：v＝，T＝2π ，所以当轨道半径减小时，其速率变大，周期变小，故D正确。
2.如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则( )
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A.＝ B.＝
C.＝2 D.＝2
解析：选A 对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝ 。 所以对于a、b两颗人造卫星有＝，故选项A正确。
3．如图所示，A是静止在赤道上随地球自转的物体，B、C是同在赤道平面内的两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。则下列说法正确的是( )
A．物体A随地球自转的角速度大于卫星B的角速度
B．卫星B的线速度小于卫星C的线速度
C．物体A随地球自转的向心加速度小于卫星C的向心加速度
D．物体A随地球自转的周期大于卫星C的周期
解析：选C C为地球同步卫星，即角速度和地球自转角速度相同，运行周期与地球自转周期相同，轨道半径大于卫星B的轨道半径，根据公式G＝mω2r可得ω＝，即ωA＝ωC
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