宜宾专版2019年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第8章圆第22讲圆的有关性质精讲练习.doc

第八章　圆 第二十二讲　圆的有关性质 宜宾中考考情与预测 宜宾考题感知与试做 ‎1.(2015·宜宾中考)如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝__2__．‎ ‎2. (2018·宜宾中考)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝____．‎ 宜宾中考考点梳理 ‎　与圆有关的概念及其性质 ‎1．圆的定义 ‎(1)到定点距离__相等__的所有点构成的图形叫做圆；‎ ‎(2)在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__．‎ ‎2．圆心确定圆的____位置__，半径的长度确定圆的__大小__．圆心相同的圆叫做同心圆，半径相等的两个圆称为等圆．‎ 7‎ ‎3．圆的有关概念 ‎(1)弦：连结圆上任意两点的线段；‎ ‎(2)直径：经过圆心的弦，直径等于半径的2倍；‎ ‎(3)弧：圆上任意两点间的部分，小于半圆周的圆弧叫做__劣弧__，大于半圆周的圆弧叫做__优弧__．‎ ‎【温馨提示】圆上任一条弦都对应两条弧．‎ ‎4．圆的对称性 ‎(1)圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的__直线__都是它的对称轴．‎ ‎(2)圆是中心对称图形，对称中心是__圆心__．‎ ‎　垂径定理及其推论 ‎5．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．‎ ‎6．垂径定理的推论 ‎(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；‎ ‎(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎(3)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；‎ ‎(4)圆的两条平行弦所夹的弧__相等__．‎ ‎7．垂径定理及其推论的延伸 根据圆的对称性，如图，在以下五条结论中：①＝；②＝；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”． ‎ ‎8．垂径定理的应用 用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段(弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半弦构成直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a、半径r、弦心距d及弓形高h四者之间就可以做到“知二求二”．‎ ‎　弦、弧、圆心角之间的关系 ‎9．定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧__相等__，所对的弦__相等__．‎ ‎10．推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等____；在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弧__相等__．‎ ‎　圆周角定理 ‎11．圆周角：顶点在__圆__上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角．‎ 7‎ ‎12．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的__一半__；相等的圆周角所对的弧__相等__.‎ ‎13．推论：‎ ‎(1)90°的圆周角所对的弦是直径，半圆或直径所对的圆周角是直角；‎ ‎(2)圆内接四边形的对角互补，它的任意一个外角等于这个角的__对角__．‎ ‎1．(2018·贵港中考)如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是(　A　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．24° B．28° ‎ C．33° D．48°‎ ‎2. (2018·遵义中考)如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连结 AC、BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E．若 DE＝3，则 AD 的长为(　D　) ‎ A .5 B. 4 C．3 D．2 ‎3．(2018·广州中考)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连结OA、OB、BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是(　D　) ‎ A．40° B．50° C．70° D．80°‎ ‎4．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于(　D　) ‎ A．180°－2α B．2α C．90°＋α D．90°－α 7‎ ‎5. (2018·常州中考)某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin ∠AOB的值是(　D　) ‎ A. B. C. D. ‎6．(2018·安徽中考)如图，菱形ABOC的边AB、AC分别与⊙O相切于点D、E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝ __60__°. ‎ 中考典题精讲精练 ‎　有关圆心角与圆周角的计算 命题规律：考查对圆心角、圆周角定理的理解和运用，属于基础题目，以填空题、选择题的形式出现．‎ ‎【典例1】(2018·南充中考)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(　A　)‎ A．58°‎ B．60°‎ C．64°‎ D．68°‎ ‎【解析】根据半径相等，得出OC＝OA，进而得出∠C＝32°，利用圆周角定理的推论得∠B＝58°.‎ ‎　垂径定理 命题规律：考查垂径定理的应用，题目常与勾股定理结合，是中考的热点，以填空题、选择题的形式出现．‎ ‎【典例2】(2018·临安中考)如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C两点，则BC＝(　A　)‎ 7‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．6 B．6 C．3 D．3【解析】设OA与BC相交于点D.‎ ‎∵AB＝OA＝OB＝6，∴△OAB是等边三角形．‎ 又根据垂径定理可得OA 垂直平分BC，‎ ‎∴BD＝DC，AD＝DO.‎ 利用勾股定理可得BD＝＝3，‎ 所以BC＝6.‎ ‎　圆的性质的综合运用 命题规律：考查利用圆的性质解决问题的能力，题目以解答题的形式出现较多．‎ ‎【典例3】(2018·宜昌中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连结FB、FC.‎ ‎(1)求证：四边形ABFC是菱形；‎ ‎(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．‎ ‎)‎ ‎【解答】(1)证明：∵AB是半圆的直径，‎ ‎∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC.‎ ‎∵AB＝AC，∴BE＝CE.‎ 又∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形．‎ 又∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形；‎ ‎(2)解：设CD＝x，连结BD.‎ ‎∵AB是半圆的直径，‎ ‎∴∠ADB＝∠BDC＝90°.‎ ‎∴AB2－AD2＝CB2－CD2，‎ ‎∴(7＋x)2－72＝42－x2，解得x＝1或－8(舍去)．‎ ‎∴AC＝8，BD＝＝.‎ ‎∴S半圆＝·π·42＝8π，S菱形ABFC＝8.‎ ‎1．(2018·安顺中考)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为(　C　)‎ A．2 cm B．4 cm C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm ‎2．(2018·眉山中考)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P＝36‎ 7‎ ‎°，则∠B等于(　A　) ‎ A．27°　　　B．32°　　　C．36°　　　D．54°‎ ‎3．(2018·张家界中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE＝(　A　)‎ A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm ‎,(第3题图)　　,(第4题图)‎ ‎4．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接等边三角形，则△ABC的面积是__3__．‎ ‎5．(2018·北京中考)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，连结OP、CD.‎ ‎(1)求证：OP⊥CD；‎ ‎(2)连结AD、BC，若∠DAB＝50°，∠CBA ＝ 70°，OA＝2，求OP的长．‎ ‎(1)证明：连结OC、OD.‎ ‎∵PC、PD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ODP＝∠OCP＝90°.‎ 在Rt△ODP和Rt△OCP中，‎ ‎∵OD＝ OC，‎ OP＝OP，‎ ‎∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP＝∠COP.‎ ‎∵OD＝OC，∴OP⊥CD；‎ ‎(2)解：设OP与CD交于点Q，连结AD、BC.‎ ‎∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝50°.‎ ‎ ∵∠CBA＝70°，∴∠ADC＝110°，∠ODC＝60°.‎ ‎ 又∵OP⊥CD，∴∠OQD＝90°，‎ ‎ ∴OQ＝OD·sin 60°＝2×＝，‎ ‎∴DQ＝OD·cos 60°＝1.‎ ‎∵PD是切线，∴∠PDO＝90°，∴∠PDC＝30°，‎ 7‎ ‎∴PQ＝DQ·tan 30°＝1×＝，‎ ‎∴OP＝PQ＋OQ＝.‎ 7‎