2019版八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时一课一练基础闯关新版新人教版.doc

勾股定理 一课一练·基础闯关 题组利用勾股定理求(直角)三角形的边长或高 ‎1.正方形的面积是4,则它的对角线长是　(　　)‎ A.2 B. C.2 D.4‎ ‎【解析】选C.设正方形的对角线为x,‎ ‎∵正方形的面积是4,∴边长的平方为4,‎ ‎∴由勾股定理得:x==2.‎ ‎2.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为　(　　)‎ 世纪金榜导学号42684022‎ A.5 B.6‎ C.8 D.10‎ ‎【解析】选C.∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,‎ ‎∴AD⊥BC,BD=CD,∵AB=5,AD=3,‎ ‎∴BD==4,∴BC=2BD=8.‎ ‎3.(2017·黄冈中考)已知:如图,在△AOB中,∠AOB=90°,‎ AO=3cm,BO=4cm,将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到 ‎△A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D=______cm.　世纪金榜导学号42684023‎ ‎【解析】∵点D为AB的中点,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得:‎ OD=AB=×=2.5.‎ 由题意可得:OB1=OB=4.所以B1D=OB1-OD=4-2.5=1.5(cm).‎ 答案:1.5‎ - 10 -‎ ‎【变式训练】(2017·老河口市期中)如图,在△ABC中,‎ ‎∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,若AC=6,BC=8,则CD等于　(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4.8‎ ‎【解析】选D.∵∠ACB=90°,∴AB==10,×AC×BC=×AB×CD,即×6×8=×10×CD,解得CD=4.8.‎ ‎4.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为________.‎ ‎【解析】设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵点D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△DBN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.即BN=4.‎ 答案:4‎ ‎5.(2017·泸州中考)在△ABC中,已知BD和CE分别是边AC,AB上的中线,且BD⊥CE,垂足为O,若OD=2cm,OE=4cm,则线段AO的长度为________cm.‎ 世纪金榜导学号42684024‎ ‎【解析】如图,连接AO,作OF⊥AB于点F,‎ ‎∵BD,CE是△ABC的中线,‎ ‎∴OB=2OD=4,‎ ‎∵OE=4,BD⊥CE,‎ ‎∴△BOE是等腰直角三角形,‎ ‎∴AE=BE=4,‎ - 10 -‎ ‎∴OF=EF=2,AF=6,‎ ‎∴AO==4.‎ 答案:4‎ ‎(2017·长春中考)如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为__________.‎ ‎【解析】依题意知,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,‎ ‎∴BF=BG-FG=6,‎ ‎∴直角△ABF中,利用勾股定理得:‎ AB===10.‎ 答案:10‎ 题组勾股定理与图形面积 ‎1.(2017·防城港期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为　(　　)‎ A.225 B.200‎ C.250 D.150‎ ‎【解析】选A.正方形ADEC的面积为:AC2,正方形BCFG的面积为:BC2;在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,又AB=15,则AC2+BC2=225.‎ ‎【变式训练】(2017·莆田模拟)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是__________.‎ - 10 -‎ ‎【解析】根据勾股定理的几何意义,可得A,B的面积和为S1,C,D的面积和为S2,S1+S2=S3,于是S3=S1+S2,即S3=2+5+1+2=10.‎ 答案:10‎ ‎2.(2017·温州中考)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2EF,则正方形ABCD的面积为　(　　)‎ 世纪金榜导学号42684025‎ A.12S B.10S C.9S D.8S ‎【解析】选C.由题意可知小正方形边长,‎ EF=EH=HG=GF=,‎ ‎4个白色的矩形全等,且矩形的长均为,宽为(-),则直角三角形的短直角边长为.‎ 由勾股定理得AB===3,所以正方形ABCD的面积为9S.‎ ‎3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,分别以BC,AB,AC为边向外作正方形,面积分别记为S1,S2,S3,若S2=4,S3=6,则S1=________.‎ - 10 -‎ ‎【解析】由题意得S1=CB2,S2=AB2,S3=AC2,由勾股定理可得AB2+CB2=AC2;则有S2+ S1= S3,即4+ S1=6,则S1=2.‎ 答案:2‎ ‎【变式训练】如图,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积S1=π,S2=2π,则S3=________.‎ ‎【解析】如图,由圆的面积公式得S1=π=π,S2=π=2π,解得c2=25,a2=16.‎ 根据勾股定理,得b2=c2-a2=9.‎ 所以S3=π=πb2=π.‎ 答案:π ‎4.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为________.　世纪金榜导学号42684026‎ ‎【解析】因为a,b,c都是正方形,所以AC=CD,‎ ‎∠ACD=90°.‎ ‎∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,‎ 即∠BAC=∠DCE,∠ABC=∠CED=90°,AC=CD,‎ ‎∴△ACB≌△CDE,∴AB=CE,BC=DE.‎ - 10 -‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=CE2+DE2,即Sb=Sa+Sc=11+5=16.‎ 答案:16‎ ‎5.已知Rt△ABC的两直角边分别为6,8,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,求图中阴影部分的面积.‎ 世纪金榜导学号42684027‎ ‎【解析】因为△ABC是直角三角形,且AC=6,BC=8,‎ 所以根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=62+82=100=102,∴AB=10,∴S阴影=π×+‎ π×+×6×8-π×=24.‎ 题组勾股定理的证明 ‎1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是　(　　)‎ ‎【解析】选D.A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D.不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项符合题意.‎ ‎2.由四个全等的直角三角形组成的如图所示的“赵爽弦图”,若直角三角形斜边长为2,一个锐角为30°,则图中阴影部分的面积为 ‎　(　　)‎ A.1 B.3‎ C.4-2 D.4+2‎ ‎【解析】选C.∵直角三角形斜边长为2,一个锐角为30°,‎ ‎∴该直角三角形的两直角边分别为1,,‎ ‎∴S阴影=22-4××1×=4-2.‎ - 10 -‎ ‎3.如图,这是美国第20届总统加菲尔德的构图,其中Rt△ADE和Rt△BEC是完全相同的,请你试用此图形验证勾股定理的正确性.　世纪金榜导学号42684028‎ ‎【证明】因为S梯形ABCD=·AB·(AD+BC)=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2,又因为S梯形ABCD=‎ S△ADE+S△DEC+S△BEC=·AD·AE+·DE·CE+·BE·BC=ab+c2+ab=ab+c2,所以a2+ab+b2=ab+c2,得c2=a2+b2.‎ 即在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.‎ ‎(2017·阜新月考)如图①,是两个全等的直角三角形硬纸板(直角边分别为a,b,斜边为c).‎ ‎(1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形,请利用这个图形验证勾股定理.‎ ‎(2)假设图①中的直角三角形有若干个,请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形,画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理.‎ ‎【解析】(1)∵四边形ABCD是梯形,‎ ‎∴S梯形ABCD=(a+b)(a+b)=2××ab+c2,‎ 即(a2+2ab+b2)=ab+c2,‎ ‎∴a2+b2=c2.‎ ‎(2)如图所示,‎ 可以证明a2+b2=c2.‎ 验证:大正方形的面积=4×ab+(b-a)2‎ - 10 -‎ 大正方形的面积=c2,‎ ‎∴4×ab+(b-a)2=c2,‎ 整理得:a2+b2=c2.‎ ‎　(2017·白银中考)如图,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于__________cm.　世纪金榜导学号42684029‎ ‎【解析】因为∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,‎ 所以由勾股定理可得,AB=10cm.‎ 又因为将纸片折叠:点A与点B重合,‎ 所以∠ADE=90°,AD=5cm.‎ 连接BE.设AE=x,‎ 则CE=8-x,BE=x,‎ 所以(8-x)2+62=x2,解得x=.‎ 在Rt△BDE中,BE=cm,BD=5cm,‎ 所以DE==(cm).‎ 答案:‎ - 10 -‎ ‎【母题变式】[变式一]如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′=________.‎ 图1‎ ‎【解析】根据折叠可得BE=EB′,AB′=AB=3,设BE=EB′=x,则EC=4-x,‎ ‎∵∠B=90°,AB=3,BC=4,∴在Rt△ABC中,由勾股定理得,AC==‎ ‎=5,∴B′C=5-3=2,在Rt△B′EC中,由勾股定理得,x2+22=(4-x)2,解得x=1.5.‎ 答案:1.5‎ ‎[变式二]如图2,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为________.‎ 图2‎ ‎【解析】由勾股定理得BC===4,因为点C与A关于DE对称,所以EC=EA,△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7.‎ 答案:7‎ ‎【方法技巧】关于折叠问题,要抓住折叠前后的对应边相等,对应角相等.其解题步骤为:(1)利用重合的图形得出所需对应边、角相等(一般不用重合的图形进行计算).(2)选择合适的直角三角形,一般这个直角三角形已知一边,另两边可通过重合图形找到数量关系,利用勾股定理列方程求解.‎ ‎[变式三]如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC与BC相交于点D,若BD=4,CD=2,则AB的长是________.‎ - 10 -‎ 图3‎ ‎【解析】过点D作DE⊥AB于点E,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,‎ ‎∴AC⊥CD.又AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴DE=CD,AC=AE.又CD=2,∴DE=2.在Rt△DBE中,∠DEB=90°,DE=2,BD=4,∴BE==2.‎ 在Rt△ABC中,设AC=x,又AC=AE.‎ 则AB=2+x,∴x2+62=(x+2)2,∴x=2,‎ ‎∴AB=2+2=4.‎ 答案:4‎ - 10 -‎