勾股定理的逆定理
一课一练·基础闯关
题组互逆命题、互逆定理
1.下面定理中,没有逆定理的是 ( )
A.内错角相等,两直线平行
B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C.同旁内角互补,两直线平行
D.对顶角相等
【解析】选D.由定理与逆定理的含义可得选项A,B,C均有逆定理,而D中可先假设其有逆定理且逆定理成立,即其逆定理为:若两个角相等,则其为对顶角,显然不成立,故D错.
2.能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是 世纪金榜导学号42684040( )
A.a=-2 B.a=
C.a=1 D.a=
【解析】选A.说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是a=-2.
【变式训练】已知下列命题:
①若a≤0,则|a|=-a;
②若ma2>na2,则m>n;
③互为相反数的两个数的和为零;
④如果a>b,那么(a+b)(a-b)>0.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.原命题正确的有①②③,②的逆命题不成立.
3.(2017·常德中考)命题:“如果m是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为:________.
【解析】两个命题,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个的结论又是第二个的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.
- 8 -
答案:如果m是有理数,则它是整数
4.写出命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题________________.
【解析】命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是:“如果3a=3b,那么a=b”.
答案:如果3a=3b,那么a=b
5.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:________________. 世纪金榜导学号42684041
【解析】逆命题为:三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,这个三角形是直角三角形,逆命题改写成“如果……,那么……”的形式:如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
答案:如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
6.说出下列命题的逆命题,并分别指出它是真命题还是假命题:
(1)全等三角形的对应角相等.
(2)如果两个角是直角,那么这两个角相等.
【解析】(1)如果两个三角形的角分别相等,那么这两个三角形全等.假命题.
(2)如果两个角相等,那么这两个角是直角.假命题.
题组勾股数
1.(2017·滨海县月考)下列各组数中是勾股数的是 ( )
A.12,15,18 B.11,60,61
C.15,16,17 D.12,35,36
【解析】选B.A.122+152≠182,此选项错误;B.112+602=612,此选项正确;C.152+162≠172,此选项错误;D.122+352≠362,此选项错误.
2.分别有下列几组数据:①6,8,10;②12,13,5;③7,8,15;
④40,41,9.其中是勾股数的有 ( )
世纪金榜导学号42684042
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
【解析】选B.①62+82=100=102,是勾股数;②52+122=132,是勾股数;③72+82≠152,不是勾股数;④92+402=412
- 8 -
,是勾股数.故选B.
题组勾股定理逆定理的应用
1.(2017·秦淮区一模)下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是 ( )
A.2,3,3 B.2,3,4 C.2,3,5 D.3,4,5
【解析】选A.A.=>3,2+3>3,∴能组成锐角三角形;
B.∵=4,∴不能组成锐角三角形;
C.∵2+3=5,∴不能组成三角形;
D.∵=5,是直角三角形,∴不能组成锐角三角形.
【变式训练】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 ( )
A.,, B.1,,
C.6,7,8 D.9,10,11
【解题指南】知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.
【解析】选B.A.()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故错误;
B.12+()2=()2,能构成直角三角形,故正确;C.62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;D.92+102≠112,不能构成直角三角形,故错误.
2.(2017·益阳中考)如图,△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则CD=__________.
世纪金榜导学号42684043
【解析】∵在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,
∴AC2+BC2=52+122=132=AB2,
∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,
∵CD是AB边上的中线,
- 8 -
∴CD=6.5.
答案:6.5
3.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式+|a-b|=0,则△ABC的形状为__________.
世纪金榜导学号42684044
【解析】∵+|a-b|=0,
∴c2-a2-b2=0,且a-b=0,
∴c2=a2+b2,且a=b,
则△ABC为等腰直角三角形.
答案:等腰直角三角形
【变式训练】三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是
( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
【解析】选C.化简(a+b)2=c2+2ab,得a2+b2=c2,所以三角形是直角三角形.
4.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.
(1)求证:BM=MN. 世纪金榜导学号42684045
(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
【解析】(1)在△CAD中,∵M,N分别是AC,CD的中点,∴MN∥AD且MN=AD.
在Rt△ABC中,∵点M是AC的中点,
∴BM=AC,
- 8 -
又∵AC=AD,∴BM=MN.
(2)∵∠BAD=60°,且AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=30°,
由(1)知,BM=AC=AM=MC,
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,
∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,
∴BN2=BM2+MN2,而由(1)知,
MN=BM=AC=×2=1,
∴BN=.
【变式训练】如图,在△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)证明:△BCD是直角三角形.
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)∵CD=9,BD=12,
∴CD2+BD2=81+144=225.
∵BC=15,∴BC2=225.
∴CD2+BD2=BC2.
∴△BCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理逆定理).
(2)设AD=x,则AC=x+9.
∵AB=AC,∴AB=x+9.
∵∠BDC=90°,
- 8 -
∴∠ADB=90°.
∴AB2=AD2+BD2(勾股定理).
即(x+9)2=x2+122,解得x=.
∴AC=+9=.
∴S△ABC=AC·BD=75.
如图,四边形ABCD是一块草坪,量得四边长AB=3m,BC=4m,DC=12m,AD=13m,
∠B=90°,求这块草坪的面积.
世纪金榜导学号42684046
【解析】连接AC,在Rt△ABC中,AB=3m,BC=4m,∠B=90°,由勾股定理得AB2+BC2=AC2,∴AC=5m.
在△ACD中,AC=5m,DC=12m,AD=13m,
∴AC2+DC2=169,AD2=169,∴AC2+DC2=AD2,
∴△ACD为直角三角形,即∠ACD=90°.
所以四边形ABCD的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB×BC+AC×DC=×3×4+×5×12=36(m2).
即这块草坪的面积是36m2.
【母题变式】一个零件的形状如图所示,工人师傅按规定做得AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?
- 8 -
【解析】∵32+42=52,52+122=132,
即AB2+BC2=AC2,
故∠B=90°,
同理,∠ACD=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=×3×4+×5×12
=6+30
=36.
[变式一]如图,已知AB=BC=4,CD=6,DA=2,且∠ABC=90°.求∠DAB的度数.
【解析】连接AC,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32.
在△ACD中,AD2+AC2=22+32=36=CD2,
∴∠DAC=90°.
又∵AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°.
[变式二](2017·渝水区校级月考)如图,在四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,
AD=24,∠B=90°.
- 8 -
(1)判断∠D是否是直角,并说明理由.
(2)求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)连接AC,
∵∠B=90°,
∴AC2=BA2+BC2=400+225=625,
∵DA2+CD2=242+72=625,
∴AC2=DA2+DC2,
∴△ADC是直角三角形,即∠D是直角.
(2)∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC,
∴S四边形ABCD=AB·BC+AD·CD
=×20×15+×24×7
=234.
- 8 -
微信/支付宝扫码支付