17.1 勾股定理
第2课时
【教学目标】
知识与技能:
1.能利用勾股定理解决实际问题.
2.会利用勾股定理解决立体图形中两点距离最短问题.
过程与方法:
经历探究与勾股定理有关的实际问题的过程,学会利用勾股定理解决实际问题的方法.
情感态度与价值观:
在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.
【重点难点】
重点:能利用勾股定理解决简单的实际问题.
难点:能利用勾股定理解决立体图形中两点之间距离最短问题.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
【导入新课】
如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一千米造价为300万元,隧道总长为2千米,隧道造价每千米为1 000万元,AC=80千米,BC=60千米,则改建后可省工程费用是多少?
你能解答上面问题吗?这一节课我们就来探究这类问题.
二、探究归纳
活动1:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
1.将实际问题转化为数学问题;
2.明确已知条件及结论;
3.利用勾股定理解答,确定实际问题的答案.
活动2:立体图形异面两点之间的距离问题:
- 6 -
1.如图,有一个圆柱,它的高等于16 cm,底面半径等于4 cm,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,在求需要爬行的最短路程时首先需将圆柱体展开,连接A、B,圆柱的侧面展开图是______,点B的位置应该在长方形的边CD的______处.点A到点B的最短距离为线段______的长度.
答案:长方形 中点 AB
2.如图,正四棱柱的底面边长为5 cm,侧棱长为6 cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处,求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长时,由点A到点C1的展开图有两种情况.
活动3:例题讲解
【例1】 一架长5米的梯子AB,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识,论证你的结论.
分析:根据勾股定理可求得如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米.
解:是.
证明1:在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,AC==4米,DC=4-1=3米.
在Rt△DCE中,DC=3,DE=5,CE==4米,BE=CE-CB=1,即梯子底端也滑动了1米.
证明2:
- 6 -
在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,AC==4米,DC=4-1=3米,
可证Rt△ECD≌Rt△ACB,
∴CE=AC=4米,BE=CE-CB=1,即梯子底端也滑动了1米.
总结:应用勾股定理解决实际问题的步骤
1.读懂题意,分析数量关系,数形结合,正确标图,将条件反映到图形中,建立数学模型;
2.应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解,解决实际问题.
【例2】 如图,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm,8 cm,30 cm.
(1)在AB中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬到C处去吃,有无数种走法,则最短路程是多少?
(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?
分析:(1)要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体的侧面展开,然后利用两点之间线段最短解答.
(2)利用长方体的性质,连接AG,BG利用勾股定理解答即可.
解:(1)将长方体沿AB剪开,使AB与D在同一平面内,得到如图所示的长方形,连接CD,
∵长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm,8 cm,30 cm,即DE=12 cm,EF=
30 cm,AE=8 cm,
∴CD====25 cm.
(2)连接AG,BG,
- 6 -
在Rt△BFG中,GF=12 cm,BF=8 cm,由勾股定理得,
GB=== cm,
在Rt△AGB中,GB= cm,AB=30 cm,
由勾股定理得,AG===2cm.
总结:求立体图形表面上两点之间的最短距离的问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一.
三、交流反思
这节课我们学习了利用勾股定理解决实际问题及应用勾股定理求最短距离问题.关键是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,再用勾股定理等知识来解答.
四、检测反馈
1.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1 m处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2 m,则树高为 ( )
A. m B. m C.(+1)m D.3 m
2.如图,一根12 m高的电线杆两侧各用15 m的铁丝固定,两个固定点AB之间的距离是 ( )
A.13 B.9 C.18 D.10
3.如图,有一个圆锥,高为8 cm,直径为12 cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁,它想吃掉圆锥顶部A处的食物,则它需要爬行的最短路程是 ( )
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
- 6 -
4.如图,圆柱的底面周长为6 cm,AC是底面圆的直径,高BC=6 cm,点P是母线BC上一点,且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ( )
A.cm B.5 cm
C.6 cm D.7 cm
5.如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要______ m.
6.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为________ mm.
7.木工师傅做一个人字形屋梁,如图所示,上弦AB=AC=4 m,跨度BC为6 m,现有一根长为3 m的木料打算做中柱AD(AD是△ABC的中线),请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做中柱AD.(只考虑长度、不计损耗)
8.我们古代数学中有这样一道数学题:
有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图)请问这根藤条有多长?
- 6 -
(注:枯树可以看成圆柱;树粗3尺,指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺).
五、布置作业
教科书第28页习题17.1第2,3,4,5,10题
六、板书设计
17.1 勾股定理
第2课时
一、利用勾股定理解决实际问题
二、应用勾股定理求最短距离问题
三、例题讲解
四、板演练习
七、教学反思
1.利用勾股定理解决实际问题关键是做到:
(1)引导学生分析实际问题,明确如何将实际问题转化为数学问题,注意条件的转化;学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题. 引导学生分析总结得出应用勾股定理解决实际问题的步骤;
(2)读懂题意,分析数量关系,数形结合,正确标图,将条件反映到图形中,建立数学模型;
(3)应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解,解决实际问题.
2.应用勾股定理求最短距离问题:
(1)引导学生分析总结得出求立体图形表面上两点之间的最短距离的问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一.
(2)关于立体图形中两点距离最短问题,这对不少学生来说是一个难点,教师要引导学生充分发挥空间想象能力,把立体图形转化成平面图形,让学生体会解决此类问题的方法:将立体图形(或曲面)展开为平面图形,再利用勾股定理求解.通过例题讲解及练习让学生掌握.
- 6 -
微信/支付宝扫码支付