2019高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积分层训练含解析新人教A版必修4.doc

平面向量的数量积 ‎ 分层训练·进阶冲关 A组 基础练(建议用时20分钟)‎ ‎1.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135°,则m·n= (　C　)‎ A.12 B.12 C.-12 D.-12‎ ‎2.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为 (　B　)‎ A.45° B.135° C.120° D.150°‎ ‎3.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a-b|= (　B　)‎ A.5 B.3 C.2 D.2‎ ‎4.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于 (　A　)‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎5.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于 (　A　)‎ A. B.- C.± D.1‎ ‎6.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为 (　C　)‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均不正确 ‎7.已知|a|=2,|b|=10,=120°,则b在a方向上的投影是　-5　,a在b方向上的投影是　-1　. ‎ ‎8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j为相互垂直的单位向量,那么a·b=‎ ‎　-63　. ‎ ‎9.已知=(-2,1),=(0,2),O为坐标原点,且∥,⊥,则点C的坐标是　(-2,6)　. ‎ ‎10.已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是. ‎ - 6 -‎ ‎11.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.‎ ‎(1)求向量a,b的夹角.‎ ‎(2)求|a-b|.‎ ‎【解析】(1)设向量a,b的夹角为θ,因为(a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=;‎ 又|a|=1,所以|b|=.‎ 因为a·b=,所以|a|·|b|cos θ=,‎ 所以cos θ=.‎ 所以向量a,b的夹角为45°.‎ ‎(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a||b|cos θ+|b|2=,‎ 所以|a-b|=.‎ ‎12.已知向量a=(1,2),b=(x,1),‎ ‎(1)当x为何值时,使(a+2b)∥(2a-b)?‎ ‎(2)当x为何值时,使(a+2b)⊥(2a-b)?‎ ‎【解析】(1)由a=(1,2),b=(x,1),得 a+2b=(2x+1,4),2a-b=(2-x,3).‎ 因为(a+2b)∥(2a-b),‎ 所以3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=.‎ ‎(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),‎ 所以(2x+1)(2-x)+12=0,‎ 解得x=-2或x=.‎ B组 提升练(建议用时20分钟)‎ - 6 -‎ ‎13.定义:|a×b|=|a|·|b|·sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于 (　B　)‎ A.-8　 B.8 C.-8或8　 D.6‎ ‎14.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于 (　B　)‎ A.150° B.120° C.60° D.30°‎ ‎15.如图所示,已知点A(1,1),单位圆上半部分上的点B满足·=0,则向量的坐标为. ‎ ‎16.如图所示,在△ABC中,∠C=90°且AC=BC=4,点M满足=3,则·=‎ ‎　4　. ‎ ‎17.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,求·(+)的最小值.‎ ‎【解析】设=t,0≤t≤1,‎ 则+=2=2t,‎ ‎=+=t-=(t-1),‎ 所以·(+)=2(t-1)t=8(t-1)t ‎=8t2-8t=8-2.‎ - 6 -‎ 所以当t=时,·(+)有最小值-2.‎ ‎18.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.‎ ‎(1)求证:(a-b)⊥c.‎ ‎(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.‎ ‎【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,‎ 所以(a-b)·c=a·c-b·c ‎=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0.‎ 所以(a-b)⊥c.‎ ‎(2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,‎ 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,‎ 所以k2+1+1+2kcos 120°+2kcos 120°+2cos 120°>1.‎ 所以k2-2k>0,解得k2.‎ 所以实数k的取值范围为k2.‎ C组 培优练(建议用时15分钟)‎ ‎19.在四边形ABCD中,已知AB=9,BC=6,=2.‎ ‎(1)若四边形ABCD是矩形,求·的值.‎ ‎(2)若四边形ABCD是平行四边形,且·=6,求与夹角的余弦值.‎ ‎【解析】(1)因为四边形ABCD是矩形,‎ 所以·=0.‎ 由=2,得=,==-.‎ 所以·=(+)·(+)=·=-·-=36-×81=18.‎ ‎(2)由题意,=+=+=+,‎ - 6 -‎ ‎=+=+=-,‎ 所以·=·=‎ ‎-·-=36-·-18=18-·.‎ 又·=6,所以18-·=6,‎ 所以·=36.‎ 设与的夹角为θ,‎ 又·=||·||cos θ=9×6×cos θ=54cos θ,‎ 所以54cos θ=36,即cos θ=.‎ 所以与夹角的余弦值为.‎ ‎20.已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).‎ ‎(1)求·及在上的投影.‎ ‎(2)证明A,B,C三点共线,并在=时,求λ的值.‎ ‎(3)求||的最小值.‎ ‎【解析】(1)·=8,设与的夹角为θ,‎ 则cos θ==,‎ 所以在上的投影为||cos θ=4×=2.‎ ‎(2)=-=(-2,2),=-‎ ‎=(1-λ)-(1-λ)=(λ-1),‎ 因为与有公共点B,‎ - 6 -‎ 所以A,B,C三点共线.‎ 当=时,λ-1=1,所以λ=2.‎ ‎(3)||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2=16λ2-16λ+16=16+12.‎ 所以当λ=时,||取到最小值2.‎ - 6 -‎