2019高中数学第二章平面向量单元质量评估含解析新人教A版必修4.doc

平面向量 ‎(120分钟　150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.如图e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示为 (　B　)‎ A.2e1+3e2　 B.3e1+2e2‎ C.3e1-2e2　 D.-3e1-3e2‎ ‎2.已知向量a=(1,x2),b=(x,8),若a∥b,则实数x的值为 (　A　)‎ A.2　　　　B.-2　　　　C.±2　　　　D.0‎ ‎3.已知非零向量m,n的夹角为,且n⊥(-2m+n),则= (　B　)‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎4.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是 (　D　)‎ A.a·b=2 B.a∥b C.|a|=|b| D.b⊥(a+b)‎ ‎5.已知向量a=(λ,1),b=(λ+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数λ的值为 (　C　)‎ A.1 B.2 C.-1　　 D.-2 ‎ ‎6.已知A,B,C是锐角△ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则p与q的夹角是 (　A　)‎ A.锐角 　 B.钝角 C.直角 　 D.不确定 ‎7.在△AOB中,G为AB边上一点,OG是∠AOB的平分线,且=+m(m∈R),则= (　C　)‎ A.　 B.1 C.　 D.2‎ - 8 -‎ ‎8.若非零向量a,b的夹角为锐角θ,且=cos θ,则称a被b“同余”.已知b被a“同余”,则向量a-b在向量a上的投影是 (　A　)‎ ‎9.已知正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O,P是线段BC上一点,则·的最小值为 (　C　)‎ A.-2　 B.-　 C.-　 D.2‎ ‎10.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于 (　D　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11.已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为 (　D　)‎ A.1∶1 　 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶1‎ ‎12.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的 (　A　)‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)‎ ‎13.已知平面向量a与b的夹角等于,如果|a|=4,|b|=,那么|2a-b|=. ‎ ‎14.已知a=(2sin 13°,2sin 77°),|a-b|=1,a与a-b的夹角为,则a·b=‎ ‎　3　. ‎ - 8 -‎ ‎15.若向量a,b夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为. ‎ ‎16.已知||=1,||=m,∠AOB=π,点C在∠AOB内且·=0.若=2λ+λ(λ≠0),则m=‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).‎ ‎(1)当m=8时,将用和表示.‎ ‎(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.‎ 解:(1)当m=8时,=(8,3).‎ 设=x+y,‎ 则(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x).‎ 所以解得 即=+.‎ ‎(2)因为A,B,C三点能构成三角形,‎ 所以,不共线.又=(1,1),=(m-2,4),‎ 所以1×4-1×(m-2)≠0,解得m≠6.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知|a|=3,b=(1,).‎ ‎(1)若a,b共线且方向相同,求a的坐标.‎ ‎(2)若a与b不共线,k为何值时,a+kb与a-kb互相垂直?‎ 解:(1)设a=(x,y),‎ 因为|a|=3,b=(1,),且a与b共线,‎ - 8 -‎ 所以解得或 又因为a,b方向相同,所以a的坐标为(,).‎ ‎(2)因为a+kb与a-kb互相垂直,‎ 所以(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=|a|2-k2|b|2=0.‎ 由已知|a|=3,b=(1,),所以|b|=.‎ 所以9-3k2=0,解得k=±.‎ 所以当k=±时,a+kb与a-kb互相垂直.‎ ‎19.(本小题满分12分)在边长为3的正三角形ABC中,设=2,=2.‎ ‎(1)用向量,表示向量,并求的模.‎ ‎(2)求·的值.‎ ‎(3)求与的夹角的大小.‎ 解:(1)因为=2,=2,‎ 所以=+=+(-)=+.‎ 又·=||·||cos A=3×3×=.‎ 故||==‎ ‎==.‎ ‎(2)=-+,‎ 所以·=·‎ - 8 -‎ ‎=--·+=-×32-×+×32=-.‎ ‎(3)||=‎ ‎=‎ ‎==,‎ 所以cos ===-,‎ 所以与的夹角为120°.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.‎ 求证:(1)BE⊥CF.‎ ‎(2)AP=AB.‎ 解:(1)如图,建立直角坐标系xOy,其中A为原点,‎ 不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),‎ C(2,2),E(1,2),F(0,1).‎ ‎=-=(1,2)-(2,0)‎ ‎=(-1,2),‎ ‎=-=(0,1)-(2,2)‎ ‎=(-2,-1).‎ 因为·=-1×(-2)+2×(-1)=0,‎ 所以⊥,即BE⊥CF.‎ ‎(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).‎ - 8 -‎ 因为∥,所以-x=-2(y-1),‎ 即x=2y-2.‎ 同理由∥,得y=-2x+4,‎ 两式联立得:x=,y=,即P.‎ 所以=+=4=,‎ 所以||=||,即AP=AB.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α).设m=a+tb(t∈R).‎ ‎(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值.‎ ‎(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m的夹角为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)因为α=,所以b=.‎ 所以m=a+tb=.‎ 所以|m|===,‎ 所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.‎ ‎(2)存在满足题意的实数t.‎ 当向量a-b和向量m的夹角为时,‎ - 8 -‎ 则有cos =.又a⊥b,‎ 所以(a-b)·(a+tb)=a2+(t-1)a·b-tb2=5-t,‎ ‎|a-b|===,‎ ‎|a+tb|===.则有=,且t