第13章《轴对称》综合测试含答案.doc

轴对称综合 例1. 如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。‎ 例2. 如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。‎ ‎  求证：DE=DF。‎ 例3. △ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。‎ 例4. 如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。‎ 求证：CD=AD+BC。‎ A档（巩固专练）‎ ‎1．下列图形中，恰好有两条对称轴的是（ ）‎ A．正六边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．圆 ‎2．剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，下面是一种剪纸方法的图示（如图1，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案）：图2中的四个图案，不能用上述方法剪出的是（ ）‎ 图1‎ 图2‎ ‎3．已知A、B两点的坐标分别是（－1，2）和（1，2），则下面四个结论：①A、B两点关于x轴对称；②A、B两点关于y轴对称；③A、B两点关于原点对称；④A、B两点之间的距离为2，其中正确的有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）‎ A．6 B．‎7 ‎C．8 D．9、‎ ‎5．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）‎ ‎ A．200 B．‎1200 C．200或1200 D．360‎ ‎6. 等腰三角形一腰的中线把周长分成‎33cm和‎24cm两部分，则它的腰长（ ）cm A 13 B、‎16 C、22 D、16或22‎ ‎7.如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：①AE＝BD ②AG＝BF ③FG∥BE ④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（ ）‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎ 第7题 第8题 第9题 ‎8.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）‎ A．70° B． 65° C． 50° D． 25°‎ ‎9. 如图，等腰△ ABC中，AB=AC，∠A=20°。线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）‎ A．80° B． 70° C．60° D．50°‎ B档（提升精练）‎ ‎10.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为　　　　　　．‎ 第10题图 ‎11.已知A(‎2m+n,2)，B(1,n-m)，若A、B关于x轴对称，则m= ，n= ．‎ ‎12.已知点M(1-a,‎2a+2)，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ．‎ ‎13. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是 ．‎ ‎14. 如图，三角形纸片，，沿过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，则的周长为______cm． ‎ ‎15. 如果等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为‎10cm，那么它的三边长分别为 .‎ ‎16. 认真观察下图中的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：‎ ‎ ‎ ‎　　（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．‎ ‎ 　　特征1：_________________________________________________；‎ ‎ 　　特征2：_________________________________________________．‎ ‎ 　　（2）请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征 ‎17．如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B‎1C1，算出了正△A1B‎1C1的面积，然后分别取△A1B‎1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B‎2C2，算出了正△A2B‎2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B‎3C3，算出了正△A3B‎3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B‎8C8的面积是 ．‎ C档（跨越导练）‎ ‎18. 在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C.求证AB+BD=CD.‎ ‎19．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，求证：CM=2BM．‎ ‎20.如图，CE，CF分别平分∠ACB和它的外角∠ACG，EF//BC，EF交AC于D。‎ ‎ 试问DF=DE吗？请说出你的理由。 ‎ ‎ ‎ ‎21.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为 BC的中点.（1）写出点D到ΔABC三个顶点 A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△DMN的形状，并证明你的结论 ‎22.如图，△ABC中，∠BAC=900,D是△ABC内一点，若BD=AB=AC，∠ABD=300 ，求证：AD=DC ‎ ‎ ‎23.如图， △ABC中,AB=AC,D是形外一点,且∠ABD=600,∠ACD=600, ‎ 猜想BD,DC与AB之间有什么关系.并证明你的结论. ‎ ‎24.如图 , △ABC 为等边三角形,延长BA 到E, 使AE= BD, 连结CE、DE, 求证: CE = DE.‎ ‎25. △ABC中，∠C=900,AC=BC，D为BC上一点，BE⊥AD于E点，且AD=2BE.求证：AD平分∠BAC ‎26.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。请问：DE⊥BC成立吗？‎ ‎27. 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．‎ ‎（1）如果点P在线段BC上以‎3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？‎ ‎（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？‎ A Q C D B P ‎28.已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．‎ ‎（1）如图1，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小；‎ 作法：‎ 图1‎ ‎（2）如图2，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大；‎ 作法：‎ 图2‎ ‎（3）如图3，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．‎ 图3‎ 轴对称综合参考答案 例1. 证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。‎ 又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，‎ 故EB=AC，∠E=∠2，‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线 ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴∠1=∠E，‎ ‎∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。‎ 例2. 证明：过E作EG//AC交BC于G，‎ ‎　　则∠EGB=∠ACB，‎ ‎　　又AB=AC，∴∠B=∠ACB，‎ ‎　　∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，‎ ‎　　∴EB=EG=CF，‎ ‎∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，‎ ‎∴DE=DF。‎ 例3. 证明：过O作OD∥BC交AB于D，‎ ‎∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，‎ 又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，‎ ‎    ∴∠ADO=∠AQO，‎ ‎    又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，‎ ‎    ∴△ADO≌△AQO，‎ ‎    ∴OD=OQ，AD=AQ，‎ ‎    又∵OD∥BP，‎ ‎    ∴∠PBO=∠DOB，‎ ‎    又∵∠PBO=∠DBO，‎ ‎    ∴∠DBO=∠DOB，‎ ‎∴BD=OD，‎ 又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，‎ ‎    ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，‎ ‎∴∠BOP=∠BPO，‎ ‎∴BP=OB，‎ ‎    ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。‎ 例4. 证明：在CD上截取CF=BC，如图乙 ‎∴△FCE≌△BCE（SAS），‎ ‎∴∠2=∠1。‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADC+∠BCD=180°，‎ ‎∴∠DCE+∠CDE=90°，‎ ‎∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，‎ ‎∴∠3=∠4。‎ 在△FDE与△ADE中，‎ ‎∴△FDE≌△ADE（ASA），‎ ‎∴DF=DA，‎ ‎∵CD=DF+CF，‎ ‎∴CD=AD+BC。‎ A档（巩固专练）‎ ‎1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D 7.D 8.C 9.C B档（提升精练）‎ ‎10.6 11.1,-1 12. 13.55°，55°或70°，40° 14.9 ‎15.3cm，‎3cm，‎4cm或‎4cm，‎4cm，‎‎2cm ‎16．（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等 ‎ ‎　　（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可以得满分．‎ ‎ 17. ‎ C档（跨越导练）‎ ‎18.在CD上截取DE=DB，连接AE，‎ ‎∵AD⊥BC，∴AE=AB.∴∠B=∠AEB.‎ 又∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，∴∠CAE=∠C.∴AE=EC.‎ ‎∴AB+BD=AE+BD=EC+ED=CD.∴AB+BD=CD.‎ ‎19. 证法1：如答图所示，连接AM，‎ ‎∵∠BAC=120°，AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C=30°，‎ ‎∵MN是AB的垂直平分线，‎ ‎∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，‎ ‎∴∠MAC=90°，∴CM=2AM，∴CM=2BM．‎ 证法二：如答图所示，过A作AD∥MN交BC于点D．‎ ‎∵MN是AB的垂直平分线，∴N是AB的中点．‎ ‎∵AD∥MN，∴M是BD的中点，即BM=MD．‎ ‎∵AC=AB，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，‎ ‎∵∠BAD=∠BNM=90°，∴AD=BD=BM=MD，‎ 又∵∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，‎ ‎∴∠CAD=∠C，∴AD=DC，BM=MD=DC，∴CM=2BM．‎ ‎20. 分别证明DE=DC，DF=DC，所以DE=DF ‎21. (1)DA=DB=DC ‎(2)△DMN为等腰直角三角形 证明：连结AD ‎∵∠DBA=∠DAC=45°，BM=AN，BD=AD ∴△DBM全等于△DAN ‎∴DM=DN，∠BDM=∠ADN ‎∵∠ADN+∠CDN=∠ADC=90°∴∠BDM+∠CDN=90° ∴∠MDN=90°‎ ‎22.分析：见到300角，最好将它放到某个直角三角形中。‎ 证明：作AE⊥BD于E，DF⊥AC于F。在Rt△ABE中, ∠ABD=300, 得，‎ 由BD=AB=AC，得∠BAD=∠BDA，由∠ABD=300，得∠BAD=∠BDA=750，‎ 则∠DAC=900-750=150，又DF⊥AC，则∠FDA=900-750=150，‎ 即DA平分∠FDE，得AE=AF 则 又DF⊥AC 则AD=DC ‎23.分析：见到600的角，应该想到将其放到某个等腰三角形中。‎ ‎ 由∠ABD=600，可构造等边三角形△ABE，或等边三角形△BDM ‎ 由∠ACD=600，可构造等边三角形△ACN，或等边三角形△CDP 解：经过测量，猜想BD+DC=AB，下面来证明这个结论。‎ ‎ 延长BD至E，使BE=AB，连接AE，CE。如图（4-2）‎ 由∠ABD=600，BE=AB，得到△ABE是等边三角形。‎ ‎ 即AB=BE=AE，∠AEB=600，已知∠ACD=600, 得 ∠ACD=∠AEB ,‎ ‎ 又AB=AC,则,AE=AC, 则∠ACE=∠AEC , ‎ ‎ 所以 ∠ACE-∠ACD =∠AEC-∠AEB ,即 ∠DCE=∠DEC , 则CD=DE 所以BD+DC= BD+DE=BE=AB ‎24. 分析: 如果CE= DE, 那么CE 和DE 是关于CD 的中垂线对称的两条线段, 我们依 照”补齐“图形的原则, 延长BD 到F, 使DF= BC, 补成一个轴对称图形即等边三角形EBF, 只要证明 ‎△EBC≌△EFD 就可以了.‎ 证明: 延长BD 到F, 使DF = BC, 连结EF.‎ ‎∵△ABC 是等边三角形∴ AB= BC,∠ABC= 60°,‎ ‎∴BE= BA+ AE= BC+ BD= BD+ DF, ∴BE= BF ∴△EBF 为等腰三角形,‎ 又∵ ∠ABC= 60°‎ ‎　∴△EBF 为等边三角形, ∴∠ABC= ∠EFB.‎ 在△EBC 和△EFD 中, BE= FE,∠EBC= ∠EFD= 60°,BC= DF,‎ ‎∴△EBC≌△EFD, 　　∴ CE= ED.‎ ‎25.要证明AD 平分∠BAC, 只要说明AD 所在直线是轴对称图形的对称轴, 但题中所给图形不是以AD 所在直线为对称轴的轴对称图形, 因此考虑把图形补全, 使之成为以AD 所在直线为对称轴的轴对称图形。于是添加如图 所示的辅助线。这里的两条辅助线的添加由于有意识地运用对称的概念和性质, 就变得很自然, 很容易了。‎ ‎26. 延长DE交BC于F点。‎ 证明：因为AD=AE 所以：∠D=∠AED=∠FEC 而∠BAC=∠D+∠AED 所以：∠FEC=∠BAC又因为：∠B=∠C 所以：∠C=(180°-∠BAC)/2=90°-∠BAC 所以：∠EFC=180°-∠C-∠FEC=180°-90°+∠BAC-∠BAC=90°‎ 所以：DF⊥BC A Q C D B P ‎27.解：（1）①∵秒，∴厘米，‎ ‎∵厘米，点为的中点，∴厘米．‎ 又∵厘米，∴厘米，∴．‎ 又∵，∴，∴．‎ ‎②∵， ∴，‎ 又∵，，则，‎ ‎∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．‎ ‎（2）设经过秒后点与点第一次相遇，‎ 由题意，得，解得秒．∴点共运动了厘米．‎ ‎∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．‎ ‎28.(1)作线段AB中垂线交l于M ‎(2)延长BA交l于M ‎(3)作点A关于l的对称点A,连结AB交l于M