在生活中迈步犹如在泥泞中行走.———雨果
【例】 (２０１２Ű山西省太原市初中数学竞赛)已知
tan∠POQ
＝１,A 为
∠POQ 内一点,OA＝２ ２,点 B 在OP 上,点 C 在
OQ 上,则
△ABC 的周长的最小值是( )．
A．４ B．５
C．３ ２ D．４ ２
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值以及二点
之间线段最短问题,同时也考查了轴对称问题．可作点 A 关
于OP,OQ 的对称点A′,A″,连接A′A″,交 OP 于点B,交 OQ
于点C．则
△ABC 的周长等于A′A″为所求的最小值．则根据
三角函数即可求解．
【解答】
作点 A 关于OP,OQ 的对称点A′,A″,连接 A′
A″,交OP 于点B,交 OQ 于点C,则
△AB′C′的周长等于A′
A″为所求的 最 小 值,连 接 OA′,OA″,则 OA′＝OA″＝OA＝
２ ２,且
∠A′OA″＝２∠POQ．已知
tan∠POQ＝１,
∴ ∠POQ＝４５°．
又
∠A′OA″＝９０°,
∴ A′A″＝ ２OA′＝４．
故选
A．
初赛题
１．(２０１２Ű福 建 赛 区)如 图,一 个 长 为
１０m
的 梯 子 斜 靠 在 墙
上,梯子的顶端距地面的垂直距离为
８m,如果梯子的顶
端下滑
１m,那么梯子的底端的滑动距离( )．
A．
等于
１m B．
大于
１m
C．
小于
１m D．
不能确定
(第
１
题)
(第
２
题)
２．(２０１２Ű贵州赛区)如图,在四边形 ABCD 中,∠A＝ ∠C＝
９０°,∠ABC＝６０°,AD ＝４,CD ＝１０,则 BD 的 长 等 于
( )．
A．４ １３ B．８ ３
C．１２ D．１０ ３
３．(２０１２Ű 广 东 赛 区 )在
Rt△ABC 中,∠A ＝９０°,tanB ＝
３tanC,则
sinB＝ ．
复赛题
４．(２０１２Ű全国初中数学竞赛)已知角 A、B 是两个锐角,且满
足
sin
２A＋cos
２B＝５t
４ ,cos
２A＋sin
２B＝３t２
４ ,则实数t的所
有可能值的和为( )．
A．－ ８
３ B．－ ５
３
C．１ D．１１
３
５．(２０１２Ű全 国 初 中 数 学 竞 赛 广 东 赛 区)如 图,客 轮 在 海 上 以
３０km/h
的速度由 B 向C 航行,在 B 处测得灯塔A 的方
位角为北偏东
８０°,测得C 处的方位角为南偏东
２５°,航行
１
小时后到 达 C 处,在 C 处 测 得 A 的 方 位 角 为 北 偏 东
２０°,则C 到A 的距离是( )．
(第
５
题)
A．１５ ６km B．１５ ２km
C．１５(６＋ ２)km D．５(６＋３ ２)km
６．(２０１２Ű湖南赛区)在
Rt△ABC 中,∠C＝９０°,若
sinA,sinB
是方程x２
－ ２x－k＝０
的两根．求
∠A 和
∠B 的度数及
k 的值．
７．(２０１２Ű“数学周报杯”全国初中数学竞赛)如图,正方形 ABCD
的边长 为
２ １５,E、F 分 别 是 AB,BC 的 中 点,AF 与
DE、DB 分别交于点 M 、N,求
△DMN 的面积．
(第
７
题)奥 赛 园 地
１．B ２．A ３． ３
２ ４．C ５．D
６．∵ sinA 和
sinB 是方程x２－ ２x－k＝０
的
两个根,
∴ sinA＋sinB＝ ２ ,sinAŰsinB＝－k．
∵
在
Rt△ABC 中,∠C＝９０°,
∴ sin２A＋sin２B＝１．
∴ ２＋２k＝１．
解得k＝－ １
２
．
故原方程可以变为x２－ ２x＋ １
２ ＝０,
解得
sinA＝sinB＝ ２
２
．
故
∠A＝∠B＝４５°．
．连接 DF,记正方形 ABCD 的边长为
２a．由
题设易知
△BFN∽△DAN,
∴
AD
BF ＝
AN
NF＝
DN
BN ＝ ２
１
．
由此,得 AN＝２NF,即 AN＝ ２
３
AF．
在
Rt△ABF 中,AB＝２a,BF＝a,
∴ AF＝ AB２＋BF２ ＝ ５a．
∴ cos∠BAF＝
AB
AF＝２ ５
５
．
由题设可知
△ADE≌△BAF,
∴ ∠AED＝∠AFB．
∴ ∠AME ＝１８０°－∠BAF－∠AED
＝１８０°－∠BAF－∠AFB
＝９０°．
∴ AM＝AE．
cos∠BAF＝２ ５
５
a．
MN＝AN－AM＝ ２
３
AF－AM＝４ ５
１５
a,
S△MND
S△AFD ＝
MN
AF ＝ ４
１５
．
又
S△AFD ＝ １
２ Ű(２a)Ű(２a)＝２a２,
∴ S△MND ＝ ４
１５
S△AFD ＝ ８
１５
a２．
∵ a＝ １５,
∴ S△MND ＝８．
(第
７
题)
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