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单元质量评估(一)
第一讲
(90分钟 120分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.以直角坐标系的O为极点,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度,平面内的点P的极坐标为(3,4),则P在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.平面内的点P的极坐标为(3,4),
由于π0,θ∈[0,2π),曲线x2=4y焦点的极坐标可以为________.
【解析】方程x2=4y的曲线为抛物线,其中p=2,焦点为(0,1),对称轴为y轴,开口向上,
所以抛物线的焦点的极坐标为.
答案:
10.在极坐标系中,点F(1,0)到直线θ=(ρ∈R)的距离是________.
【解析】直线θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,
故点F(1,0)到直线的距离为=.
答案:
11.在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)=2与圆ρ=4sinθ的交点的极坐标为________.
【解析】直线ρ(cosθ-sinθ)=2,即x-y-2=0,圆ρ=4sinθ即x2+(y-2)2=4,表示以(0,2)为圆心、半径等于2的圆,
由求得
故直线和圆的交点坐标为(,1),
故它的极坐标为.
答案:
12.(2016·邢台高二检测)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线
ρsinθ=a相交于A,B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为________.
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【解析】由ρ=4sinθ可得ρ2=4ρsinθ,
所以x2+y2=4y.所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为C(0,2),半径r=2;
由ρsinθ=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于△AOB是等边三角形,所以圆心C是等边△AOB的中心,若设AB的中点为D(如图).
则CD=CB·sin30°=2×=1,即a-2=1,
所以a=3.
答案:3
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线(x′-5)2+(y′+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.
【解析】将代入(x′-5)2+(y′+6)2=1,
得(2x-5)2+(2y+6)2=1,
即+(y+3)2=,
故曲线C是以为圆心,半径为的圆.
14.(10分)(2016·衡水高二检测)极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2-
8ρsin+13=0,C点为圆心,已知A,B,求△ABC的面积.
【解析】圆C的直角坐标方程为x2+y2+4x-4y+13=0,即(x+2)2+(y-2)2
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=3.又A(0,-1),B(0,-3),所以AB=2.C到直线AB的距离为2,所以△CAB的面积=2.
15.(10分)在极坐标系中,曲线C:ρ=2sinθ上的两点A,B对应的极角分别为, ,求弦长|AB|的值.
【解析】A,B两点的极坐标分别为,,化为直角坐标为,,
故|AB|==.
16.(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos,判断两曲线的位置关系.
【解析】将曲线C1,C2化为直角坐标方程,
得C1:x+y+2=0,
C2:x2+y2-2x-2y=0,
即C2:(x-1)2+(y-1)2=2,
圆心到直线的距离d==>,
所以曲线C1与C2相离.
17.(10分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中.直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程.
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=,设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
【解析】(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2
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的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,
ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于圆C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
18.(10分)在极坐标系中,从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)设R为l上任意一点,试求RP的最小值.
【解析】方法一:
(1)设动点P的极坐标为
(ρ,θ),则点M为(ρ0,θ).
因为OM·OP=12,所以ρ0ρ=12,得ρ0=.
因为M在直线ρcosθ=4上,
所以ρ0cosθ=4.即cosθ=4,
于是ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点P的轨迹方程.
(2)由于点P的轨迹方程为
ρ=3cosθ=2·cosθ,
所以点P的轨迹是圆心为,半径为的圆.
又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知RP的最小值为1.
方法二:(1)直线l:ρcosθ=4的直角坐标方程为x=4,设点P(x,y)为轨迹上任意一点,点M(4,y0),
由∥,得y0=(x>0).
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又OM·OP=12,则OM2·OP2=144.
所以(x2+y2)=144,
整理得x2+y2=3x(x>0),
这就是点P的轨迹的普通方程.
(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为
,半径为的圆(去掉原点).
又点R在直线l:x=4上,
由此可知RP的最小值为1.
【拓展延伸】求曲线的轨迹方程常用方法
(1)在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直译法、定义法、相关点法等.在极坐标系中,求曲线的极坐标方程以上方法仍然是适用的.
(2)由于动点P与动点M的极角相同,所以方法一利用两个动点的极径的关系式,直接求出了动点轨迹的极坐标方程,然后利用极坐标方程的曲线的形状求出了线段长度的最小值.
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