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课时提升作业 五
柱坐标系与球坐标系简介
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·泰安高二检测)设点A的柱坐标为(1,π,0),则点的直角坐标为
( )
A.(-1,0,0) B.(1,0,0)
C.(0,0,-1) D.(-1,π,0)
【解析】选A.设点的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),因为(ρ,θ,z)=(1,π,0),
由得即
所以点A(1,π,0)的直角坐标为(-1,0,0).
【补偿训练】点M的直角坐标为(,1,-2),则它的柱坐标为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.ρ==2,tanθ==,θ=,所以点M的柱坐标为.
2.点的球坐标化为直角坐标为 ( )
A.(1,,0) B.(1,-,0)
C.(-1,,0) D.(-1,-,0)
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【解析】选C.设点的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,φ,θ),因为(r,φ,θ)=,
由得即
故化为直角坐标为(-1,,0).
3.在球坐标系中,满足θ=,r∈[0,+∞),φ∈[0,π]的动点P(r,φ,θ)的轨迹为 ( )
A.点 B.直线
C.半平面 D.半球面
【解析】选C.由于在球坐标系中,θ=,r∈[0,+∞),φ∈[0,π],故射线OM平分∠xOy,由球坐标系的意义,知动点P(r,φ,θ)的轨迹为二面角x-ON-y的平分面,这是半平面,如图所示.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.已知在柱坐标系中,点M的柱坐标为,且点M在坐标轴Oy上的射影为N,则|MN|=________.
【解析】设点M在平面xOy上的射影为P,连接PN,
则PN为线段MN在平面xOy上的射影.
因为MN⊥直线Oy,MP⊥平面xOy,
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所以PN⊥直线Oy.
所以|OP|=ρ=2,|PN|==1,
在Rt△MNP中,∠MPN=90°,
所以|MN|===.
答案:
5.点M的球坐标为,则M的直角坐标为________.
【解析】因为M的球坐标为,
所以r=4,φ=,θ=
所以x=rsinφcosθ=4×1×=2,
y=rsinφsinθ=4×1×=-2,
z=rcosφ=4×0=0,
故M的直角坐标为(2,-2,0).
答案:(2,-2,0)
【补偿训练】空间点P的柱坐标为,则点P关于z轴的对称点为________.
【解析】点P关于z轴的对称点坐标为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.设点M的直角坐标为(1,-1,),求点M的坐标.
【解析】由坐标变换公式,得r==2,
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由rcosφ=z(0≤φ≤π),得cosφ==,
由于0≤φ≤π,所以φ=.
又tanθ==-1(0≤θ0,求t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.
【解析】取圆锥的顶点O为坐标原点,建立球坐标系,
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设t时刻蚂蚁在点M(r,φ,θ)处,
由题意得θ=ωt,z=vt,φ=,
由于=cosφ=cos=,于是r=2z=2vt,
所以t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标为
M,t∈[0,+∞).
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