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第 1 章 一元二次方程
1.4 第 1 课时 面积问题与平均增长率问题
知识点 1 面积问题
1．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图 1－4－1)，
原空地一边减少了 1 m，另一边减少了 2 m，剩余空地的面积为 18 m2，求原正方形的边长．设
原正方形空地的边长为 x m，则可列方程为( )
A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0
图 1－4－1
图 1－4－2
2．[2017·兰州] 王叔叔从市场上买了一块长 80 cm，宽 70 cm 的矩形铁皮，准备制作一
个工具箱，如图 1－4－2，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为 x cm 的正方形后，剩余
的部分刚好能围成一个底面积为 3000 cm2 的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )
A．(80－x)(70－x)＝3000
B．80×70－4x2＝3000
C．(80－2x)(70－2x)＝3000
D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000
3．在一幅长 60 cm、宽 40 cm 的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的金色边框，制成一
幅面积是 3500 cm2 的矩形挂图，那么金色边框的宽为________cm.
4．如图 1－4－3，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外
三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 宽的门，所
围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 m2?
图 1－4－3
知识点 2 增长(降低)率问题
5．[2017·衡阳] 中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线
某地区居民 2015 年人均年收入 200 美元，预计 2017 年人均年收入将达到 1000 美元．设 2015
年到 2017 年该地区居民人均年收入平均增长率为 x，可列方程为( )2
A．200(1＋2x)＝1000
B．200(1＋x)2＝1000
C．200(1＋x2)＝1000
D．200＋2x＝1000
6．2016·徐州模拟某种药品原价为 35 元/盒，经过连续两次降价后售价为 26 元/盒．设
平均每次降价的百分率为 x，根据题意所列方程正确的是( )
A．35(1－x)2＝35－26 B．35(1－2x)＝26
C．35(1－x)2＝26 D．35(1－x2)＝26
7．某商品的售价为 100 元，连续两次降价 x%后售价降低了 36 元，则 x 为( )
A．8 B．20 C．36 D．18
8．[2017·黑龙江] 原价 100 元的某商品，连续两次降价后售价为 81 元．若每次降价的
百分率相同，则降价的百分率为________．
9．2017·太原期中为积极响应国家提出的“大众创业，万众创新”号召，某市加大了对
“双创”工作的支持力度．据悉，2015 年该市此项拨款为 1.5 亿元，2017 年的拨款达到 2.16
亿元，这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为________．
10．已知某工厂计划经过两年时间，把某种产品从现在的年产量 100 万台提高到 121 万
台，那么平均每年增长的百分率是________；按此平均增长率，预计再经过两年，该工厂的
年产量是________万台．
11．某公司今年销售一种产品，1 月份获得利润 20 万元，由于产品畅销，利润逐月增加，
3 月份的利润比 2 月份的利润增加 4.8 万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增
长率．
12．某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 196 万个．设该厂八、九月份
平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是( )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
13．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条
件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛．设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的
关系式为( )
A.
1
2x(x＋1 )＝28 B.
1
2x(x－1 )＝28
C．x(x＋1 )＝28 D．x(x－1 )＝28
图 1－4－4
14．如图 1－4－4 是某广场一角的矩形花草区，其长为 40 m，宽为 26 m，其间有三条等
宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为 864 m2，则
路的宽度为________m.3
15．[2017·襄阳] 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，
我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014 年利润为 2 亿元，2016 年利润为
2.88 亿元．
(1)求该企业从 2014 年到 2016 年利润的年平均增长率；
(2)若 2017 年保持前两年利润的年平均增长率不变，则该企业 2017 年的利润能否超过
3.4 亿元？
16．教材“问题 1”变式李明准备进行如下操作实验：把一根长 40 cm 的铁丝剪成两段，
并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积和等于 58 cm2，李明应该怎样剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm2.你认为他的说法正确吗？请说
明理由．
17．[2017·烟台] 今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足
球大课间”活动．现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球 2015 年
的价格为 200 元/个，2017 年的价格为 162 元/个．
(1)求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
图 1－4－5
试问去哪个商场购买足球更优惠？4
详解详析
1．C 2.C
3．5 [解析] 设金色边框的宽为 x cm，则整幅挂图的长为(2x＋60) cm，宽为(2x＋
40)cm.依题意，得(2x＋60)(2x＋40)＝3500，整理，得 x2＋50x－275＝0，解得 x1＝5，x2＝－
55(不符合题意，舍去)．
4．解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m，则平行于住房墙的一边长为(26－
2x)m.
依题意，得 x(26－2x)＝80.
化简，得 x2－13x＋40＝0.
解这个方程，得 x1＝5，x2＝8.
当 x＝5 时，26－2x＝16>12(舍去)；
当 x＝8 时，26－2x＝103.4 万元．
答：该企业 2017 年的利润能超过 3.4 亿元．
16．解：(1)设其中一个正方形的边长为 x cm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.
由题意，得 x2＋(10－x)2＝58.
解得 x1＝3，x2＝7.
4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，5
∴李明应该把铁丝剪成 12 cm 和 28 cm 的两段．
(2)李明的说法正确．理由如下：
设其中一个正方形的边长为 y cm，则另一个正方形的边长为(10－y)cm.
由题意，得 y2＋(10－y)2＝48，
整理，得 y2－10y＋26＝0.
∵(－10)2－4×1×26＝－4＜0，
∴此方程无实数根．
即这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm2，
∴李明的说法是正确的．
17．解：(1)设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x.
根据题意，得 200(1－x)2＝162，
解得 x＝0.1 或 x＝1.9(舍去)．
0．1×100%＝10%.
答：2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 10%.
(2)到 A 商场购买 91 个足球，赠送 9 个足球，共 100 个足球，总价为 91×162＝14742(元)．
到 B 商场购买，总价为 100×162×0.9＝14580(元)．
∵14580＜14742，
∴去 B 商场购买合算．
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