1
第 1 章 一元二次方程
1．2 第 1 课时 用直接开平方法解一元二次方程
知识点 1 利用开平方的条件判断方程解的情况
1．用直接开平方法解关于 x 的一元二次方程(x－5)2＝m－7 时需开平方，因此被开方数
m－7 是一个________数，即 m－7≥0，∴当 m 的取值范围是________时，方程(x－5)2＝m－7
有解．
知识点 2 用直接开平方法解形如 x2＝p(p≥0)的一元二次方程
2．解方程：x2－25＝0.
解：移项，得 x2＝________．
∵x 是________的平方根，∴x＝________，
即 x1＝________，x2＝________．
3．教材例 1(2)变式方程 9x2＋1＝2 的解是 x1＝________，x2＝________．
知识点 3 用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)的一元二次方程
4.一元二次方程(x＋6)2＝16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x＋
6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4
C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
5．解方程：12(3－2x)2－3＝0.
解：移项，得 12(3－2x)2＝________．
两边都除以 12，得(3－2x)2＝________．
∵3－2x 是________的平方根，
∴3－2x＝________，
即 3－2x＝________或 3－2x＝________，
∴x1＝________，x2＝________．
6．教材例 2 变式方程 2(1＋m)2＝24 的解为 x1＝________，x2＝________．
7．解方程：
(1)(x－1)2－3＝0; (2)(2x－1)2－16＝0；
(3)4(1－2x)2＝9; (4)3(x－5)2－75＝0.
8．若方程 x2－m＝0 的根是有理数，则 m 的值可能是( )
A．－9 B．3 C．－4 D．4
9．2016·深圳给出一种运算：对于函数 y＝xn，规定 y′＝nxn－1.例如：若函数 y＝x4，
则 y′＝4x3.已知函数 y＝x3，则方程 y′＝12 的根是( )
A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝x2＝0 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
10．若(x2＋y2－1)2＝4，则 x2＋y2＝________．
11．已知三角形两边的长分别为 3 和 6，第三边的长是一元二次方程(x－5)2－4＝0 的根，
试求三角形的周长．2
12．若关于 x 的方程(x＋m)2＝k(k≥0)的两个根是 2 和 3，则关于 x 的方程(x＋m－2)2＝
k(k≥0)的根是( )
A．2 或 3 B．－2 或－3
C．4 或 5 D．－4 或－5
13．[2017·河北] 对于实数 p，q，我们用符号 min {p，q }表示 p，q 两数中较小的数，
如 min{1，2}＝1.因此 min{－ 2，－ 3}＝________；若 min{（x－1）2，x2}＝1，则 x＝
________．3
详解详析
1．非负 m≥7
2．25 25 ±5 5 －5
3.
1
3 －
1
3
4．D [解析] 将方程(x＋6)2＝16 两边直接开平方，得 x＋6＝±4，则 x＋6＝4 或 x＋6
＝－4.故选 D.
5．3
1
4
1
4 ±
1
2
1
2 －
1
2
5
4
7
4
6．2 3－1 －2 3－1
7．解：(1)移项，得(x－1) 2＝3.∵(x－1)是 3 的平方根，∴x－1＝± 3，即 x1＝1＋
3，x2＝1－ 3.
(2)移项，得(2x－1)2＝16.开平方，得 2x－1＝±4.当 2x－1＝4 时，x＝
5
2；当 2x－1＝－
4 时，x＝－
3
2.∴x1＝
5
2，x2＝－
3
2.
(3)方程变形为(2x－1)2＝
9
4.
∵(2x－1)是
9
4的平方根，
∴2x－1＝±
3
2，即 x1＝
5
4，x2＝－
1
4.
(4)移项，得 3(x－5)2＝75，∴(x－5)2＝25，
∴x－5＝5 或 x－5＝－5，解得 x1＝10，x2＝0.
8． D [解析] 先移项，把方程化为 x2＝m.因为 x 是有理数，所以 m 必须大于或等于 0
且是某个有理数的平方，据此即可对各个选项进行判断．
9．B 10.3
11．解：由方程(x－5)2－4＝0，得 x＝3 或 x＝7.
根据三角形的三边关系，知 3，6，3 不能构成三角形；3，6，7 能构成三角形．
故该三角形的周长为 3＋6＋7＝16.
12．C
13．－ 3 2 或－1
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