2 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程
知识点 1 直接开平方法
1．一元二次方程x2－16＝0的根是( )
A．x＝2 B．x＝4
C．x1＝2，x2＝－2 D．x1＝4，x2＝－4
2．对于形如(x＋m)2＝n的方程，下列说法正确的是( )
A．可以直接开平方得x＝－m±
B．可以直接开平方得x＝－n±
C．当n≥0时，直接开平方得x＝－m±
D．当n≥0时，直接开平方得x＝－n±
3．一元二次方程(x＋6)2－9＝0的解是( )
A．x1＝6，x2＝－6
B．x1＝x2＝－6
C．x1＝－3，x2＝－9
D．x1＝3，x2＝－9
4．已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有实数根，则m的取值范围是( )
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A．m≥－ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
5．若一元二次方程(x＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x＋6＝ ，则另一个一次方程是________________．
6．用直接开平方法解下列方程：
(1)(2x＋1)2－6＝0；
(2)(x－2)2＋4＝0.
知识点 2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
7．用配方法解方程x2＋2x－5＝0时，原方程应变形为( )
A．(x－1)2＝6 B．(x＋1)2＝6
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
8．将x2＋49配成完全平方式，需加上的一次项为( )
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A．7x B．14x
C．－14x D．±14x
9．若x2－4x＋p＝(x＋q)2，则p，q的值分别是( )
A．p＝4，q＝2 B．p＝4，q＝－2
C．p＝－4，q＝2 D．p＝－4，q＝－2
10．一元二次方程a2－4a－7＝0的解为_____________．
11．用配方法解下列方程：
(1)x2＋4x－2＝0；
(2)x2－x－1＝0；
(3)x2－3x＝3x＋7；
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(4)x2＋2x＋2＝6x＋4.
12．若把x2＋2x－2＝0化为(x＋m)2＋k＝0的形式(m，k为常数)，则m＋k的值为( )
A．－2 B．－4 C．2 D．4
13．用配方法解关于x的方程x2＋px＋q＝0时，方程可变形为( )
A．(x＋)2＝ B．(x＋)2＝
C．(x－)2＝ D．(x－)2＝
14．代数式x2＋4x＋7的最小值是________．
15．若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝________．
16．小明用配方法解一元二次方程x2－4x－1＝0的过程如下所示：
解：x2－4x＝1，①
x2－4x＋4＝1，②
(x－2)2＝1，③
x－2＝±1，④
x1＝3，x2＝1.⑤
(1)小明解方程的方法是________，他的求解过程从第________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；
(2)解这个方程．
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17．若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b2的值．
18．在宽为20 m，长为32 m的矩形耕地上修筑同样宽的三条道路，两条纵向、一条横向，横向与纵向互相垂直(如图2－2－1)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570 m2，求道路的宽．
图2－2－1
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19．定义一种运算“*”：当a≥b时，a*b＝a2＋b2；当a＜b时，a*b＝a2－b2，则方程x*2＝12的解是________．
20．将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，我们将其称为二阶行列式，并定义＝ad－bc.若＝6，则x＝________．
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详解
1．D 2.C
3．C [解析] (x＋6)2＝9，∴x＋6＝±3，
∴x1＝－3，x2＝－9.故选C.
4．B
5．x＋6＝－ [解析] 直接开平方，得x＋6＝±.
6．解：(1)移项，得(2x＋1)2＝6，
直接开平方，得2x＋1＝±，即2x＝－1±，
解得x1＝，x2＝.
(2)移项，得(x－2)2＝－4，
∵(x－2)2≥0，－4＜0，
∴该方程无实数根．
7．B [解析] x2＋2x－5＝0，x2＋2x＝5，x2＋2x＋1＝5＋1，(x＋1)2＝6.故选B.
8．D
9．B [解析] 由x2－4x＋p＝(x＋q)2＝x2＋2qx＋q2，得2q＝－4，p＝q2，
解得p＝4，q＝－2.
10．a1＝2＋，a2＝2－
11．解：(1)移项，得x2＋4x＝2.
配方，得x2＋4x＋4＝6.
整理，得(x＋2)2＝6，
∴x＋2＝±，
即x1＝－2＋，x2＝－2－.
(2)移项，得x2－x＝1.
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配方，得x2－x＋＝.
整理，得(x－)2＝，
∴x－＝±，
即x1＝，x2＝.
(3)原方程可化为x2－6x＝7.
配方，得x2－6x＋9＝7＋9.
整理，得(x－3)2＝16，
∴x－3＝±4，
即x1＝7，x2＝－1.
(4)移项，得x2＋2x－6x＝4－2.
合并同类项，得x2－4x＝2.
配方，得x2－4x＋22＝2＋22.
整理，得(x－2)2＝6，
所以x－2＝或x－2＝－，
即x1＝2＋，x2＝2－.
12．A [解析] x2＋2x＝2，x2＋2x＋1＝3，(x＋1)2＝3，所以m＝1，k＝－3，所以m＋k＝1－3＝－2.
故选A.
13．A [解析] 首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式．
14．3 [解析] x2＋4x＋7＝x2＋4x＋4＋3＝(x＋2)2＋3≥3，则原式的最小值为3.
15．4 [解析] 利用直接开平方法得到x＝±，得到方程的两个根互为相反数，所以m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，则方程的两个根分别是2与－2，则有＝2，然后两边平方得到
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＝4.
16．解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第②步开始出现错误，这一步的运算依据应该是等式的基本性质．
故答案为：配方法，②，等式的基本性质．
(2)x2－4x＝1，
x2－4x＋4＝1＋4，
(x－2)2＝5，
x－2＝±，
x＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
17．解：∵a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，
∴(a2＋2a＋1)＋(b2－6b＋9)＝0，
即(a＋1)2＋(b－3)2＝0，
∴a＝－1，b＝3，
∴a2－b2＝(－1)2－32＝－8.
18．解：设道路的宽为x m，
由题意得(32－2x)(20－x)＝570，
整理，得x2－36x＋35＝0，
解得x1＝1，x2＝35.
∵x＝35＞20，∴不合题意，舍去．
答：道路的宽为1 m.
19．x1＝2 ，x2＝－4 [解析] 当x≥2时，x*2＝x2＋22＝12，
解得x1＝2 ，x2＝－2 .
因为x≥2，所以x＝2；
当x＜2时，x*2＝x2－22＝12，
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解得x1＝4，x2＝－4.
因为x＜2，所以x＝－4.
综上可知，方程的解为x1＝2 ，x2＝－4.
20．± [解析] 定义＝ad－bc，
若＝6，
则(x＋1)2－(x－1)(1－x)＝6，
化简得x2＝2，
即x＝±.
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