4 第1课时 最大面积问题
知识点 1 几何图形的面积与二次函数
1．如图2－4－1，假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )
A．60 m2 B．63 m2
C．64 m2 D．66 m2
图2－4－1
图2－4－2
2．[2016·衢州] 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图2－4－2)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.
图2－4－3
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3．如图2－4－3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．
4．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图2－4－4)．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，绿化带的面积最大？
图2－4－4
知识点 2 二次函数与抛物线形问题
5．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图2－4－5所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为( )
图2－4－5
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
6．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图2－4－6.若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第( )
A．3 s B．3.5 s C．4 s D．6.5 s
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图2－4－6 图2－4－7
7．如图2－4－7，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面2.2 m，与篮圈中心的水平距离为8 m，当球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3 m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得( )
A．比开始高0.8 m B．比开始高0.4 m
C．比开始低0.8 m D．比开始低0.4 m
图2－4－8
8．如图2－4－8，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________m.
9．[2016·内江] 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边由长为30 m的篱笆围成．已知墙长为18 m(如图2－4－9所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x m.
(1)若苗圃的面积为72 m2，求x.
(2)若平行于墙的一边长不小于8 m，这个苗圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
(3)当这个苗圃的面积不小于100 m2时，直接写出x的取值范围．
图2－4－9
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10．如图2－4－10，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点C到ED的距离是11 m．以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距离h(m)随时间t(h)的变化满足函数表达式h＝－(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5 m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，禁止船只通行的时间是多少？
图2－4－10
11．有这样一个例题：有一个窗户形状如图2－4－11①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，才能使其透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2－4－11②，材料总长仍为6 m．利用图2－4－11③，解答下列问题：
(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
(2)与例题比较，改变窗户的形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
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图2－4－11
详解详析
1．C [解析] 设BC＝x m，则AB＝(16－x)m，矩形ABCD的面积为y m2，
根据题意，得y＝(16－x)x＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，
当x＝8时，y最大＝64，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.
故选C.
2．144 [解析] 如图，设总占地面积为S(m2)，CD的长度为x(m)，
由题意知AB＝CD＝EF＝GH＝x，
∴BH＝48－4x.
∵0＜BH≤50，CD＞0，
∴0＜x＜12，
∴S＝AB·BH＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋144，
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∴x＝6时，S可取得最大值，最大值为144 m2.
3．3 [解析] 设P，Q同时出发后，经过的时间为t s，四边形APQC的面积为S mm2，
则有S＝S△ABC－S△PBQ＝×12×24－×4t×(12－2t)＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108.
∵4＞0，
∴当t＝3时，S取得最小值．故答案为3.
4．[解析] (1)由矩形的性质结合BC的长度可得出AB的长度，再根据矩形的面积公式即可得出y与x之间的函数关系式；
(2)利用配方法将二次函数关系式由一般式变形为顶点式，进而即可得出结论．
解： (1)∵四边形ABCD为矩形，BC＝x m，
∴AB＝ m.
根据题意，得y＝AB·BC＝·x＝－x2＋20x(0＜x≤25)．
(2)∵y＝－x2＋20x＝－(x－20)2＋200，
∴当x＝20时，绿化带的面积最大．
5．C [解析] 根据题意，得点A，B的纵坐标为－4，
把y＝－4代入y＝－x2，得x＝±10，
∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝20 m.
即这时水面宽度AB为20 m.
故选C.
6．C [解析] 由题意可知当t＝2和t＝6时，h的值相等，则函数h＝at2＋bt的对称轴为直线t＝＝4，故在第4 s时，小球的高度最高．故选C.
7．A [解析] 由题意可得，球出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，
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∴球出手的位置距地面的高度应为3 m.
∵3－2.2＝0.8(m)，
∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8 m．故选A.
8．0.5 [解析] 以左边树与地面的交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A(0，2.5)，B(2，2.5)，C(0.5，1)．
设函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.
把A，B，C三点的坐标分别代入函数表达式得解得
∴y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5.
∵2＞0，∴当x＝1时，y最小值＝0.5.
即绳子的最低点距地面的距离为0.5 m.
9．解：(1)苗圃与墙平行的一边长为(30－2x)m.依题意可列方程，得
x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0.
解得x1＝3(不合题意，舍去)，x2＝12.
即x的值为12.
(2)依题意，得8≤30－2x≤18，解得6≤x≤11.
面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)．
①当x＝时，S有最大值，S最大＝ m2；
②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88(m2)．
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(3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0.
解得x1＝5，x2＝10.
∴x的取值范围是5≤x≤10.
10．解：(1)依题意可得，顶点C的坐标为(0，11)，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋11.
由抛物线的对称性可得，点B的坐标为(8，8)，
∴8＝64a＋11，解得a＝－，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋11.
(2)当水面到顶点C的距离不大于5 m时，h≥6，把h＝6代入h＝－(t－19)2＋8(0≤t≤40)，得t1＝35，t2＝3.
∴禁止船只通行的时间为|t1－t2|＝32 h.
答：禁止船只通行的时间为32 h.
11．解：(1)由已知得AD＝ m，
∴此时窗户的透光面积为 m2.
(2)设AB＝x m，则AD＝(3－x)m.
∵3－x>0，
∴0
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