27．1 图形的相似
关键问答
①判断图形是否相似的主要方法是什么？
②对于形状相同的两个图形，从数学角度怎么做阐述？
③判断四条线段是否成比例的方法是什么？
④由相似多边形的定义可以推出什么？
1．①下列图形中相似的有( )
(1)放大镜下的图片与原来的图片；(2)放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象；(3)天空中两朵白云的照片；(4)卫星上拍摄的长城照片与用相机拍摄的长城照片．
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
2．②如果两个相似多边形的一组对应边的长分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为( )
A. B. C. D.
3．③下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝5，b＝10，c＝7，d＝14 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
4．④如图27－1－1所示，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′相似，求未知边x的长度和未知角α的度数．
图27－1－1
7
命题点 1 图形相似的判断 [热度：98%]
5．下面各组图形中，不是相似图形的是( )
图27－1－2
6.⑤观察图27－1－3中的图形，指出图(1)～(8)中的图形有没有与给出的图形(a)(b)(c)形状相同的？
图27－1－3
方法点拨
⑤可考虑图形之间的水平长与竖直宽是否同时扩大或缩小.
命题点 2 识别成比例线段 [热度：90%]
7．下列长度的线段成比例的是( )
A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
8.⑥若线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，b＝6 cm，c＝2 cm，则d＝________ cm.
解题突破
⑥若线段a，b，c，d成比例，则有＝.
9.⑦已知三条线段a＝1 cm，b＝2 cm，c＝3 cm，若第四条线段与它们成比例，则这样的线段共有几条？它们分别为多长？
7
易错警示
⑦在没有明确成比例线段的顺序时，需分情况进行讨论.
命题点 3 比例尺 [热度：90%]
10．在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25 cm，则甲、乙两地的实际距离是( )
A．1250 km B．125 km C．12.5 km D．1.25 km
11．⑧如图27－1－4是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，则他的跳远成绩约是________m(比例尺为1∶300)．
图27－1－4
解题突破
⑧跳远成绩指落地时身体距起跳线最近的落点到起跳线的垂线段的长．
命题点 4 识别相似多边形 [热度：92%]
12．下列图形中一定相似的是( )
A．有一个角相等的两个平行四边形
B．有一个角相等的两个等腰三角形
C．有一个角相等的两个菱形
D．有一组邻边对应成比例的两个平行四边形
13.⑨如图27－1－5，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.
(1)如图①，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
(2)如图②，当x为多少时，图中的矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？
图27－1－5
方法点拨
⑨判定相似多边形的条件是对应角相等，对应边成比例，欲说明两个多边形不相似，只需说明对应边不成比例或对应角不相等即可.
命题点 5 相似多边形的性质 [热度：95%]
7
14．如图27－1－6，已知六边形ABCDEF与六边形GHIJKL相似，点A，B，C，D，E，F的对应点分别是点G，H，I，J，K，L.若它们的相似比为2∶1，则下列结论中正确的是( )
图27－1－6
A．∠E＝2∠K B．∠K＝2∠E
C．BC＝2HI D．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
15．如图27－1－7，在矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为( )
图27－1－7
A. B．1＋ C．4 D．2
16．如图27－1－8，E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD.
(1)求证：EB＝GD；
方法点拨
⑩添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．⑩(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
图27－1－8
17．平面图形相似的概念可以推广到空间立体图形．例如：任意两个球体都是相似的；任意两个正方体都是相似的．立体相似图形也有与平面相似图形相类似的性质．
(1)猜想性质：棱长为1的正方体的体积V1＝1，棱长为2的正方体的体积V2＝8，棱长为3的正方体的体积V3＝27，…，可得＝＝()3，＝＝()3，＝＝()3，…，由此猜想立体相似图形具有下列性质：立体相似图形的体积之比等于对应线段之比的________；
解题突破
7
⑪买哪种鱼合算可以转化成比较单位体积的鱼的价格大小．⑪(2)问题解决：星期天，小强帮妈妈去超市买鱼，正赶上超市促销．超市里有一种“竹荚鱼”都长得非常相似，按大小有两种不同的价钱，如图27－1－9所示，鱼长10 cm的每条10元，鱼长13 cm的每条15元．买哪种鱼合算呢？
图27－1－9
7
详解详析
1．C 2.A 3.C
4．解：由题意，得＝，解得x＝18.
∵∠C′＝360°－(63°＋129°＋78°)＝90°，
四边形ABCD和四边形A′B′C′D′相似，
∴∠C＝∠C′＝90°，即α＝90°.
5．B
6．解：(a)与(4)(8)；(b)与(6)；(c)与(5)形状相同．
7．D [解析] A项中，≠；B项中，≠；C项中，≠；D项中，＝＝，所以选项D中的四条线段成比例．故选D.
8．4 [解析] 由线段a，b，c，d成比例，可得＝，即＝，解得d＝4(cm)．
9．解：设第四条线段的长是x cm.
当x≥3时，有＝，解得x＝6；
当2≤x
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