第3课时 相似三角形判定定理3
关键问答
①从角的角度来说，满足什么条件的两个三角形相似？
②直角三角形相似的判定方法有哪些？
1．①∠1＝∠2是下列四个图形的共同条件，则四个图形中不一定有相似三角形的是( )
图27－2－32
2．②如图27－2－33，已知△ABC∽△DFE，则x＝________．
图27－2－33
命题点 1 利用两角对应相等判定两个三角形相似 [热度：99%]
3.③下列说法中不正确的是( )
A．有一个角是30°的两个等腰三角形相似
B．有一个角是60°的两个等腰三角形相似
C．有一个角是90°的两个等腰三角形相似
D．有一个角是120°的两个等腰三角形相似
易错警示
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③已知角要分顶角和底角进行讨论.
4.④如图27－2－34，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则图中一定相似的三角形是( )
图27－2－34
A．△AED与△ACB B．△AEB与△ACD
C．△BAE与△ACE D．△AEC与△DAC
方法点拨
④在同一顶点处有两个直角，往往可以得到两个角相等．
5．⑤如图27－2－35，BE，CD相交于点O，且∠1＝∠2，则图中的相似三角形有( )
图27－2－35
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
解题突破
⑤在判定两个三角形相似时，注意挖掘题目中的隐含条件．
6．⑥如图27－2－36，P为线段AB上一点，AD与BC相交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中的相似三角形有( )
图27－2－36
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
模型建立
⑥“一线三等角”模型：如图27－2－37，由∠B＝∠C＝∠EDF，易得∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD.
图27－2－37
7.⑦如图27－2－38，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB，AC的延长线上，∠ADE＝60°.
求证：△ABD∽△DCE.
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图27－2－38
一题多变
⑦本题D，E两点还可以放在边BC，AC上.
命题点 2 两个直角三角形相似的判定 [热度：92%]
8.⑧在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
解题突破
⑧两直角三角形相似时，斜边与斜边必是对应边，直角边可分两种情况分别对应.
9．如图27－2－39，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC与△CAD相似，则CD的长等于( )
图27－2－39
A.或 B.或
C.或 D.或
10．如图27－2－40，在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD，AD于点E，F，连接BF.
(1)求证：△DEC∽△FDC；
(2)若DE＝2 ，F为AD的中点，求BD的长．
图27－2－40
命题点 3 相似三角形中的条件开放性问题 [热度：97%]
11.⑨如图27－2－41，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
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图27－2－41
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
方法点拨
⑨解答此类问题需要熟练掌握三角形相似的判定方法.
12．如图27－2－42，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，需要添加一个条件，则下列所添条件不正确的是( )
图27－2－42
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC
C.＝ D.＝
13.⑩如图27－2－43，在△ABC中，D，E分别是边AC和AB上的点，且DE≠BC，请你添加一个条件，使得△ABC与△AED相似，你添加的条件是________．(任意填一个即可)
图27－2－43
一题多变
⑩把DE平移到经过点C的位置呢？
命题点 4 通过判定三角形相似求值或证明 [热度：96%]
14．⑪2018·永州如图27－2－44，在△ABC中，D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为( )
图27－2－44
A．2 B．4
C．6 D．8
模型建立
⑪△ADC与△ACB有两个公共顶点A，C，且有一个公共角∠A，由于∠ADC＝∠ACB，根据两角对应相等的两个三角形相似，易得△ADC∽△ACB.
15．如图27－2－45，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y与x的函数关系用图象大致可以表示为( )
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图27－2－45
图27－2－46
16．如图27－2－47，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( )
图27－2－47
A．2 B．3
C．4 D．5．
17．⑫如图27－2－48，在△ABC中，AD平分∠BAC，EM是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点E.求证：DE2＝BE·CE.
图27－2－48
方法点拨
⑫证明一个等积式，通常先将其转化成比例式，然后再证明横看或竖看比例式的线段所在的两个三角形相似，如果三角形不相似，那么就用等线段转换.
18.如图27－2－49，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在上取一点E，使∠EBC＝∠DEC，延长BE交AC于点G，交⊙O于点H.
(1)求∠AGB的度数；
⑬(2)若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于17，BD的长为15，求CE的长．
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图27－2－49
方法点拨
⑬求某条线段的长，可把此线段放入某一个三角形中，通过证明这个三角形与已知三角形相似，实现由已知边求得未知边的目的.
19．如图27－2－50，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm.动点M从点B出发，在BA边上以每秒3 cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2 cm的速度向点B运动，运动时间为t秒(0＜t＜)．
(1)如图①，连接MN，若△BMN与△ABC相似，求t的值；
⑭(2)如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
图27－2－50
解题突破
⑭根据线段垂直得到两个角相等，进而找到两个直角三角形相似，再利用相似三角形的性质求t的值．
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详解详析
1．D 2.5
3．A [解析] 有一个角是30°的等腰三角形的三个角的度数可以为30°，30°，120°或30°，75°，75°，显然这两个等腰三角形不相似．
4．C [解析] ∵∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAB＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，
∴∠EAB＝∠CAD.
又∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD＝DC，∴∠DCA＝∠CAD，
∴∠EAB＝∠DCA.
又∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.
5．C [解析] ∵∠1＝∠2，∠EOD＝∠COB，
∴∠ADC＝∠ABE，△DOE∽△BOC.
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABE，
∴△ACD∽△AEB.
6．C [解析] 在△PCF和△BCP中，∵∠CPD＝∠B，∠C为公共角，∴△PCF∽△BCP.在△APD和△PGD中，∵∠CPD＝∠A，∠D为公共角，∴△APD∽△PGD，∴∠APD＝∠PGD，∴∠BPF＝∠AGP.又∵∠A＝∠B，∴△AGP∽△BPF.故有3对相似三角形，故选C.
7．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠DCE＝120°.
∵∠ABC＝∠DAB＋∠BDA，∠ADE＝∠CDE＋∠BDA，∠ABC＝∠ADE＝60°，
∴∠DAB＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE.
8．C
9．C [解析] 若△ABC与△CAD相似，由图形可知，AB和AC为对应边，当BC和CD对应时，有△ABC∽△ACD，有＝，可得CD＝；
当AC和CD对应时，有△ABC∽△CAD，有＝，可得CD＝.
10．解：(1)证明：∵∠DEC＝∠FDC＝90°，∠DCE＝
∠FCD，∴△DEC∽△FDC.
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，∴＝.
∵DF＝AF＝AD＝BC，∴＝＝，
∴BE＝2DE＝4 ，∴BD＝6 .
11．C [解析] 由于∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，只需使夹这两个角的边对应成比例即可，因此选C.
12．D
13．答案不唯一，如∠ADE＝∠B等 [解析] 由已知可得∠A＝∠A，添加∠ADE＝∠B，可得两角对应相等，故两三角形相似．
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14．B [解析] ∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，∴AC∶AB＝AD∶AC，
∴AC2＝AD·AB＝2×8＝16.
∵AC＞0，∴AC＝4.因此，本题选B.
15．D [解析] ∵DH垂直平分AC，
∴DA＝DC，AH＝HC＝2，
∴∠DAC＝∠DCA.
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC.
又∵∠DHA＝∠B＝90°，∴△DAH∽△CAB，
∴＝，即＝，∴y＝.
∵AB
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