27.2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
关键问答
①两条直线被一组平行线所截，对应线段是什么？
②两个三角形都和第三个三角形相似，这两个三角形相似吗？理由是什么？
1．①如图27－2－1，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是( )
图27－2－1
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2．如图27－2－2，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G.若DE＝2，EG＝1，GF＝3，则下列结论正确的是( )
图27－2－2
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
3．②如图27－2－3，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形的对数是( )
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图27－2－3
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图27－2－4，P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有( )
图27－2－4
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
命题点 1 相似三角形的有关概念 [热度：89%]
5．③已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，则下列结论正确的是( )
A．AB是A′B′的3倍 B．A′B′是AB的3倍
C．∠A是∠A′的3倍 D．∠A′是∠A的3倍
易错警示
③相似比是有顺序的．方法点拨
6．④如图27－2－5，△ABC与△ADE相似，∠ADE＝∠B，则下列比例式正确的是( )
图27－2－5
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
④相似三角形中，找对应边、对应角有以下规律：①公共角、对顶角是对应角；②最大(小)边与最大(小)边是对应边；③最大(小)角与最大(小)角是对应角；④对应角的对边是对应边，对应边的对角是对应角．
7．如图27－2－6，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．
图27－2－6
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命题点 2 利用平行线分线段成比例的基本事实计算 [热度：93%]
8．2018·嘉兴如图27－2－7，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.已知＝，则等于( )
图27－2－7
A．3 B．2
C. D.
9.⑤如图27－2－8，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，若FG＝3，则线段EF和线段GH的长度之和是( )
图27－2－8
A．5 B．6 C．7 D．8
方法点拨
⑤在成比例的四条线段中，若已知其中三条线段的长，则可求出第四条线段的长.
10．如图27－2－9，直线l1∥l2∥l3，等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为( )
图27－2－9
A. B. C. D.
11．如图27－2－10，在△ABC中，点M在边AB上，过点M作MN∥BC交AC于点N
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，过点N作DN∥MC交AB于点D.已知AB＝4，AM＝3，则AD的长为________．
图27－2－10
12.⑥如图27－2－11，已知AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点O，若AF＝9，BO＝2，OC＝1，CE＝4，求DF和OD的长．
图27－2－11
易错警示
⑥本题易把对应线段弄混，从而产生错误.
命题点 3 利用平行线判定两个三角形相似 [热度：95%]
13．如图27－2－12，DE∥BC，AD∶DB＝2∶1，那么△ADE与△ABC的相似比为( )
图27－2－12
A. B.
C. D．2
14．如图27－2－13，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则CD的长为( )
图27－2－13
A. B．8 C．10 D．16
15.⑦2018·南充如图27－2－14，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________．
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图27－2－14
模型建立
⑦过角平分线上一点作角一边的平行线，与角的另一边围成一个等腰三角形．
16．⑧如图27－2－15，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且EO∥BC，若已知AD＝3，BC＝6，AB＝4，求AE的长．
图27－2－15
方法点拨
⑧从图形“”或“”中可得到两个三角形相似.
17．⑨如图27－2－16所示，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6，CD＝9，求EF的长．
图27－2－16
模型建立
⑨这个基本图形存在关系式：＋＝.
18.⑩如图27－2－17，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；
(2)OA2＝OE·OF.
图27－2－17
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解题突破
⑩OA，OE是哪个“A”字形中的对应线段？OA，OF是哪个“A”字形中的对应线段？
命题点 4 探究性问题 [热度：89%]
19.⑪已知MN∥EF∥BC，A，D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶BE＝m∶n.
(1)当点A，D重合，即a＝0时(如图27－2－18(a))，试求EF的长(用含m，n，b的代数式表示)．
(2)请直接应用(1)的结论解决下列问题：
若点A，D不重合，即a≠0，
①如图(b)这种情况时，试求EF的长(用含a，b，m，n的代数式表示)；
②如图(c)这种情况时，试猜想EF与a，b，m，n之间有何种数量关系，并证明你的猜想．
图27－2－18
模型建立
⑪本题第(1)问可以由平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似得到一个模型：EF＝·BC.
20.⑫如图27－2－19，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
(1)当＝＝时，有＝＝(如图①)；
(2)当＝＝时，有＝＝(如图②)；
(3)当＝＝时，有＝＝(如图③)．
在图中，当＝时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明(其中n是正整数)．
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图27－2－19
解题突破
⑫通过作平行线，构建图形“”或“”来解决.
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详解详析
1．D 2.D 3.C 4.D
5．A [解析] 由相似三角形的性质，对应边成比例，对应角相等，可得＝3，∠A＝∠A′，所以选A.
6．D [解析] 此题中的DE与BC不平行，且已知∠ADE＝∠B，所以AE与AC，AD与AB，DE与BC分别是对应边，故可得比例式＝.故选D.
7．解：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝60°，
∴∠ACP＝120°，∠A＋∠APC＝60°.
∵△ACP∽△PDB，∴∠BPD＝∠A，
∴∠BPD＋∠APC＝60°，
∴∠APB＝∠BPD＋∠APC＋∠CPD＝60°＋60°＝120°.
8．B [解析] ∵＝，∴＝2.∵l1∥l2∥l3，∴＝＝2.
9．B [解析] 由l1∥l2∥l3∥l4，得AB∶BC∶CD＝EF∶FG∶GH＝1∶2∶3.∵FG＝3，∴EF＝，GH＝，∴EF＋GH＝6.
10．A [解析] 如图，过点B作BF⊥l3，过点A作AE⊥l3，垂足分别为F，E，AE交l2于点G.
由题意知AG＝1，BF＝3.
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＋∠ACE＝90°.
又∵∠BCF＋∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF.
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF，∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，
∴BG＝EF＝CF＋CE＝7，
∴AB＝＝5 .
∵l2∥l3，∴＝＝，∴DG＝CE＝，
∴BD＝BG－DG＝7－＝，
∴＝＝.故选A.
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11. [解析] ∵MN∥BC，∴＝.
∵DN∥MC，∴＝，
∴＝，即＝，解得AD＝.
12．解：由AB∥CD∥EF可得＝.
又∵BE＝BO＋OC＋CE＝7，CE＝4，AF＝9，
∴DF＝.又CD∥EF，∴＝，
∴OD＝.
13．B [解析] ∵AD∶DB＝2∶1，∴＝.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的相似比＝＝.
14．C [解析] 由EF∥AB可得△DEF∽△DAB，∴＝.∵DE∶EA＝2∶3，∴DE∶DA＝2∶5，∴AB＝＝10.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝10.
15. [解析] ∵DE∥BC，AD＝1，BD＝2，BC＝4，∴＝，即＝，解得DE＝.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC.又∵DE∥BC，∴∠FBC＝∠F，∴∠ABF＝∠F，∴DF＝BD＝2.∵DF＝DE＋EF，∴EF＝2－＝.
16．解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，
∴＝.
∵AD＝3，BC＝6，∴＝＝，∴＝.
∵EO∥BC，∴△AEO∽△ABC，
∴＝，即＝，∴AE＝.
17．解：∵AB∥EF，∴△CEF∽△CAB，
∴＝.
∵EF∥CD，∴△BEF∽△BDC，
∴＝，∴＋＝＋＝1，
∴＋＝.
又∵AB＝6，CD＝9，
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∴EF＝.
18．证明：(1)∵EC∥AB，∴∠C＝∠ABF.
又∵∠EDA＝∠ABF，∴∠C＝∠EDA，
∴DA∥CF.
又∵EC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵DA∥CF，∴△OBF∽△ODA，
∴＝.
∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，
∴＝，∴＝，即OA2＝OE·OF.
19．解：(1)∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，∴＝.
∵＝，∴＝.
又∵BC＝b，∴＝，∴EF＝.
(2)①如图①，连接BD，与EF交于点H.
由(1)知HF＝，EH＝.
∵EF＝EH＋HF，∴EF＝.
②猜想：EF＝.
证明：如图②，连接DE并延长，交BC于点G.
由已知，得BG＝，EF＝.
∵GC＝BC－BG，
∴EF＝(BC－BG)＝(b－)＝.
20．解：猜想：＝.
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证明：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F，
∴＝.
∵D为BC边的中点，
∴CF＝EF＝EC.
∵＝，
∴＝，
∴＝，∴＝，∴＝.
【关键问答】
①一组平行线截一条直线所得到的线段与截另一条直线所得到的线段是对应线段．
②相似．理由：由已知条件可以得到这两个三角形的对应边成比例，对应角相等．
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