27.2.3 相似三角形应用举例
关键问答
①测量树高的依据是什么？需要得到的数据有哪些？
②测量河宽常需要构造什么图形？需要得到的数据有哪些？
1．①如图27－2－59，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米．若一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为( )
图27－2－59
A．1.5米 B．2.3米 C．3.2米 D．7.8米
2．②如图27－2－60，已知点A，D，E和点B，D，C分别在同一直线上，且AB⊥BD，EC⊥CD.测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，则河宽AB为( )
图27－2－60
A．120 m B．100 m C．75 m D．25 m
命题点 1 利用相似求物体的高度 [热度：95%]
3.③如图27－2－61是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米，那么该古城墙CD的高度是( )
10
图27－2－61
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
解题突破
③由物理知识可知，入射角等于反射角，从而由两角分别相等的两个三角形相似解题．
4．④某数学兴趣小组的小颖和小红想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时小颖测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，同时刻小红测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图27－2－62)．小红先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是( )
图27－2－62
A．3.8 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m
易错警示
④本题易把树的影长当作1.2＋2.6＝3.8(m)而误选D.
5.⑤如图27－2－63，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米．他继续往前走3米到达点E处(即CE＝3米)，测得自己影子EF的长为2米．已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是( )
图27－2－63
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
方法点拨
⑤利用两个“A”型图可建立关于两个未知量的方程组，通过方程组进行求解.
6．⑥两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的试验．他的做法是：在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图27－2－64所示的装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为________ cm.
图27－2－64
解题突破
⑥解决本题要用到相似三角形对应高的比等于相似比．
7.⑦如图27－2－65，垂直于地面放置的正方形框架ABCD的边长为30 cm，在其正上方有一灯泡P.在灯泡的照射下，正方形框架的部分影子A′B，D′C的长度和为6 cm，那么灯泡P离地面的高度PM为________cm.
10
图27－2－65
一题多变
⑦有n个边长为a的正方形按如图27－2－66所示的方式摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡P离地面的高度PM.
图27－2－66
8．如图27－2－67，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子．已知AB＝2 m，CD＝1.5 m，BD＝2 m，BF＝20 m，则旗杆EF的高度为________m.
图27－2－67
9．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图27－2－68，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动．小亮看着镜面上的标记，来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的距离ED＝1.5米，CD＝2米．然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从点D沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端点F处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．
如图27－2－68，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB.
图27－2－68
10
命题点 2 利用相似求物体的宽度 [热度：93%]
10．如图27－2－69，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
图27－2－69
11．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度．两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)．
①小明在点B面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图27－2－70所示，这时小亮测得小明的眼睛距地面的距离AB＝1.7米；
②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米．
图27－2－70
命题点 3 相似在其他方面的实际应用 [热度：91%]
12.⑧如图27－2－71所示，一张等腰三角形纸片，底边长为18 cm，底边上的高为18 cm.现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
10
图27－2－71
A．第4张 B．第5张
C．第6张 D．第7张
解题突破
⑧由于每个矩形的宽一定，因此求纸条的张数可转化成求正方形上面的边到等腰三角形底边的距离.
13.⑨如图27－2－72是临时暂停修建的一段乡村马路，高的一边已经修好，低的一边才刚做好路基．一辆汽车在高的一边沿箭头方向行驶时偏离了正常行驶路线后停止，但一侧的两个轮子已经驶入低的一边．经检查，底板AB刚好接触到高的一边的路面边缘P.已知AB＝130 cm，轮子A，B处在底板以下部分与地面的距离AC＝BD＝30 cm，两路面的高度差为50 cm.设路面是水平的，则PC的长是________ cm.
10
图27－2－72
方法点拨
⑨若两个相似三角形的一对对应边已知，另外一对对应边满足某种数量关系，则可以求出另外一对对应边的长度.
14.⑩有一个测量弹跳力的体育器材，如图27－2－73所示，竖杆AC，BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．
(1)设CE＝x厘米，EF＝a厘米，求出用x和a表示y的计算公式；
(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良好；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，则该男生弹跳成绩处于什么水平？
图27－2－73
模型建立
⑩利用相似三角形的性质，可建立量与量之间的关系式，借助这个关系式，可以由已知量求得未知量.
10
详解详析
1．C 2.B
3．B [解析] ∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，即＝，解得CD＝8(米)．
4．C [解析] 如图，设BD是BC在地面上的影子，树高为x m.
根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得＝，而CB＝1.2 m，
∴BD＝0.96 m，
∴树在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)．
再由竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得
＝，解得x＝4.45，即树高是4.45 m.
5．B [解析] ∵MC∥AB，∴△DCM∽△DBA，
∴＝，即＝. ①
∵NE∥AB，∴△FNE∽△FAB，
∴＝，即＝， ②
∴＝，解得BC＝3(米)，
∴AB＝6米，即路灯A的高度AB为6米．
6．3 [解析] 如图，由题意得OE＝20 cm，OF＝30 cm，
AB＝2 cm.
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3(cm)，
即光屏上火焰所成像的高度为3 cm.
7．180 [解析] 设PM与AD的交点为N.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥A′D′，
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∴△PAD∽△PA′D′，∴＝.
设灯泡P离地面的高度PM为x cm，
则＝，解得x＝180.
经检验，x＝180是原方程的根且符合题意．
即灯泡P离地面的高度为180 cm.
一题多变
设灯泡P离地面的高度PM为x，PM交AD于点N，由题意，得PM＝x，PN＝x－a，AD＝na，A′D′＝na＋b.
∵AD∥A′D′，∴△PAD∽△PA′D′，
∴＝，∴＝，
解得x＝.
经检验，x＝是原方程的根且符合题意．
故灯泡P离地面的高度为.
8．7 [解析] 如图，过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，
∴AM∥CN，∴∠MAC＝∠NCA.
由已知可得∠EAM＝∠MAC，
∴∠EAM＝∠NCA.
又∵∠EMA＝∠ANC＝90°，∴△AEM∽△CAN，
∴＝，∴EM＝5 m，∴EF＝7 m.
9．解：由题意可得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，
故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，
则＝，＝，
即＝，＝，
解得AB＝99(米)．
答：“望月阁”的高AB为99米．
10．22.5 [解析] 设河宽为x米，由题意可得
＝，解得x＝22.5.
11．解：由题意，得∠BAD＝∠BCE.
又∵∠ABD＝∠CBE＝90°，
10
∴△BAD∽△BCE，∴＝，即＝，
解得BD＝13.6(米)．
答：河宽BD是13.6米．
12．B [解析] 已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边长是3 cm，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形上面的边的距离为x cm，则＝，解得x＝3，所以从这个正方形上面的边到纸片底边的距离为18－3＝15(cm)．因为15÷3＝5，所以这张正方形纸条是第5张．
13．72 [解析] 如图，过点B作BE∥PC.
易得△APC∽△PBE，
∴＝＝.
又∵PA＋PB＝130 cm，
∴PA＝78 cm，
∴PC＝＝72(cm)．
14．解：(1)如图，过点A作AM⊥BD于点M，交GE于点N.
又∵AC⊥CD，GE⊥CD，
∴四边形ACEN为矩形，
∴NE＝AC.
又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，
∴GN＝GE－NE＝a＋y－200.
∵DM＝AC＝200，
∴BM＝BD－DM＝300－200＝100.
∵GE∥BD，
∴△ANG∽△AMB，
∴＝，即＝，
∴y＝x－a＋200.
(2)当x＝150，a＝205时，y＝×150－205＋200＝45.
∵40＜y＝45＜50，
∴该男生弹跳成绩处于良好水平．
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【关键问答】
①依据是相似三角形的对应边成比例，需要得到的数据有物高及其影长以及树的影长．
②一般需要构造的图形如下：
需要得到河岸一侧的三条线段的长．
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