第1课时 位似图形的概念及画法
关键问答
①判断图形是否位似的方法是什么？
②确定位似中心的方法是什么？
③位似中心确定，相似比确定，可以画几个与已知图形位似的图形？
1．①下列各组图形中，不是位似图形的是( )
图27－3－1
2．②图27－3－2中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )
图27－3－2
A．点P B．点O C．点M D．点N
3．③如图27－3－3，把图中的四边形ABCD以点O为位似中心，沿AO方向放大为原来的2倍(即相似比为2)．
图27－3－3
命题点 1 位似图形的识别 [热度：86%]
4.④小明的圆规的摆放方式如图27－3－4所示，则图27－3－5中和小明的圆规形状一样的几个圆规中，与小明摆放的圆规位似的是( )
图27－3－4
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图27－3－5
解题突破
④位似图形的对应边平行(或在一条直线上)且对应点的连线相交于一点.
5．下列每个图中的两个三角形是位似图形的是( )
图27－3－6
A．图③、图④ B．图②、图③、图④ C．图②、图③ D．图①、图②
命题点 2 位似中心的确定 [热度：87%]
6.⑤如图27－3－7，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是( )
图27－3－7
A．点A B．点B C．点C D．点D
方法点拨
⑤两个位似三角形，若同向，则位似中心在这两个三角形同侧；若反向，则位似中心在这两个三角形之间.
命题点 3 利用位似图形的性质进行计算 [热度：90%]
7．如图27－3－8所示，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比是( )
图27－3－8
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1
8．如图27－3－9，A是反比例函数y＝(x＞0)的图象上一点，点B，D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的相似比是1∶3，△ABD的面积为1，则该反比例函数的解析式为________．
图27－3－9
9．如图27－3－10①，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使点D，E位于边BC上，点F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使点H，I位于射线BC上，点K位于射线BA上，而不需要点J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.
6
阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：
易错警示
⑥满足长、宽之比为2∶1的长方形有两种摆放位置．⑥(1)如图27－3－10②，给定锐角三角形ABC，画出所有长、宽之比为2∶1的长方形DEFG，使点D，E位于边BC上，点F，G分别位于边AC，AB上；
(2)已知△ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG的面积．
图27－3－10
命题点 4 位似图形的画法 [热度：89%]
10.⑦如图27－3－11，已知五边形A′B′C′D′E′是五边形ABCDE的位似图形，但被小明擦去了一部分，你能将它补充完整吗？
图27－3－11
方法点拨
⑦先确定位似中心，再由相似比或对应边互相平行来确定对应点.
11．如图27－3－12，在6×8网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；
(2)连接(1)中的BB′，CC′，求四边形BB′C′C的周长．(结果保留根号)
6
图27－3－12
12．如图27－3－13所示是由位似的△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn组成的相似图形，它们均为等边三角形，其中△A1B1C1的边长为1，O是B1C1的中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点，…，An是OAn－1的中点，顶点B2，B3，…，Bn，C2，C3，…，Cn都在边B1C1上．
⑧(1)试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；
(2)求△AnBnCn(n≥2)的周长．
图27－3－13
解题突破
⑧由三角形中位线定理把前几个三角形的边长求出来，找出一般规律，然后求出△A10B10C10和△A7B7C7的边长，即可求出相似比．
6
详解详析
1．B 2.A
3．解：如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．
4．D
5．B [解析] 位似三角形的对应边平行(或在一条直线上)且对应点的连线相交于一点．
6．B 7.A
8．y＝ [解析] 连接AO.∵△ABD与△COD的相似比是1∶3，∴＝.
∵△ABD的面积为1，
∴△AOD的面积为3，
∴△ABO的面积为4，
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝.
9．解：(1)如图②与备用图①，长方形DEFG即为所求作的图形．
(2)在长方形DEFG中，如果DE＝2DG，如备用图②，作△ABC的高AM，交GF于点N.
∵△ABC的面积＝BC·AM＝×12×AM＝36，
∴AM＝6.
设AN＝x，则MN＝6－x，DG＝MN＝6－x，
DE＝GF＝2(6－x)＝12－2x.
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝3，
∴DG＝6－x＝3，DE＝2DG＝6，
∴长方形DEFG的面积＝6×3＝18；
在长方形DEFG中，如果DG＝2DE，
6
同理求出x＝，
∴DG＝6－x＝，DE＝DG＝，
∴长方形DEFG的面积＝×＝.
综上，长方形DEFG的面积为18或.
10．解：如图：
11．解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求．
(2)四边形BB′C′C的周长为：BB′＋B′C′＋CC′＋BC＝2＋2 ＋2＋4 ＝4＋6 .
12．解：(1)由条件可知A1B1＝1＝，A2B2是△OA1B1的中位线，∴A2B2＝＝.
同理，A3B3＝＝，…，AnBn＝.
∴A10B10＝，A7B7＝，
∴△A10B10C10和△A7B7C7的相似比为＝＝.
∵各三角形的各对应顶点的连线都经过点O，
∴△A10B10C10和△A7B7C7的位似中心是点O.
(2)由(1)可知AnBn＝，
∴AnBn＋BnCn＋CnAn＝，
即△AnBnCn的周长为.
【关键问答】
①一看图形是否相似，二看对应点的连线是否相交于一点．
②连接两对对应顶点，找连线的交点．
③两个，分别在位似中心的两侧．
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