第2课时 相似三角形判定定理1，2
关键问答
①△A′B′C′的第三边只可能和△ABC的哪条边是对应边，为什么？
②两个等腰三角形(非等边三角形)相似，一个等腰三角形的顶角可能和另一个等腰三角形的底角是对应角吗？
③是否可以利用“边边角”判定两个三角形相似？
1．①在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，如果要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长是( )
A．2 B. C．4 D．2
2．②已知△ABC如图27－2－20所示，则图27－2－21中与△ABC相似的是( )
图27－2－20
图27－2－21
3．③在△ABC与△DEF中，AB∶AC＝DE∶DF，∠B＝∠E，则这两个三角形( )
A．相似，但不全等 B．全等或相似
C．不相似 D．无法判断是否相似
4．如图27－2－22，已知＝，∠BAD＝∠CAE，且∠C＝60°，求∠E的度数．
7
图27－2－22
命题点 1 利用三边对应成比例判定两个三角形相似 [热度：95%]
5．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知甲三角形框架的三边长分别为30 cm，50 cm，60 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，那么符合条件的乙三角形框架一共有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
6.④在如图27－2－23所示的正方形网格中，除△ABC外还有4个三角形，其中与△ABC相似的有( )
图27－2－23
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
方法点拨
④利用勾股定理分别求出各个三角形的三边长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似进行判断.
7.⑤如图27－2－24，某地四个乡镇建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB与DC平行吗？说明理由．
图27－2－24
7
方法点拨
⑤在利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，一般计算、、的值，再判断这三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似；若不相等，则两个三角形不相似.
命题点 2 利用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似 [热度：93%]
8.⑥如图27－2－25，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
图27－2－25
解题突破
⑥由于阴影部分的三角形与原三角形有公共角，故可检验夹此角的两边是否对应成比例.
9.⑦如图27－2－26，在正方形ABCD中，E为BC的中点，DF＝3FC，连接AE，AF，EF，那么下列结论错误的是( )
图27－2－26
A．△ABE与△EFC相似 B．△ABE与△AEF相似
C．△ABE与△AFD相似 D．△AEF与△EFC相似
模型建立
⑦本题在图形上类似字母“K”，已知条件中有一线三等角，易得三个直角三角形都是相似的.
10．如图27－2－27，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，则当BD＝________时，△ABD ∽△DBC.
图27－2－27
11．如图27－2－28，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为________．
图27－2－28
12.⑧如图27－2－29，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从点A出发，以每秒2 cm的速度向点B运动，点Q从点C同时出发，以每秒3 cm的速度向点A
7
运动，其中一个动点运动到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
图27－2－29
解题突破
⑧以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，由于∠A与∠A是对应角，显然有两种相似情况，即△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB.
命题点 3 两种判定方法的综合应用 [热度：91%]
13.⑨如图27－2－30，如果＝＝，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
图27－2－30
解题突破
⑨判定两个三角形相似时，先看已经给出了什么条件，再考虑还需要得到什么条件，怎样才能得到.
14.⑩如图27－2－31，AD是△ABC中BC边上的中线，A′D′是△A′B′C′中B′C′边上的中线，＝＝，试说明△ABC∽△A′B′C′.
图27－2－31
7
解题突破
⑩遇中点加倍，可以把已知条件转移到同一个三角形中，使条件相对集中.
15.⑪一个钢筋三角架的三边长分别是20 cm，50 cm，60 cm，再做一个与其相似的钢筋三角架，现在只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．
解题突破
⑪从30 cm长的钢筋上截下两段是否可以？当从50 cm长的钢筋上截下两段时，30 cm长的钢筋与原三角架的边有几种对应情况？
详解详析
1．A 2.D
3．D [解析] 因为AB∶AC＝DE∶DF，∠B＝∠E，条件中相等的角不是对应成比例的两边的夹角，故无法判断这两个三角形是否相似．故选D.
4．解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，
即∠BAC＝∠DAE.
又∵＝，∴△ABC∽△ADE，
∴∠E＝∠C＝60°.
5．C 6.C
7．解：平行．理由：∵AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，
∴＝＝，∴△ABD∽△BDC，
∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC.
8．B 9.C 10.2
11．P3 [解析] ∵∠BAC＝∠PED，＝，∴当＝时，△ABC∽△EPD.∵ED＝4，∴EP＝6，∴点P落在P3处．
12．解：设运动时间为t s，根据题意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，则AQ＝AC－CQ＝(16－3t)cm.
∵∠A＝∠A，
∴当＝时，有△APQ∽△ABC，
此时有＝，解得t＝；
7
当＝时，有△APQ∽△ACB，此时有＝，解得t＝4.
故当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 s或4 s.
13．解：相似．理由：
∵＝＝，∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.
又∵＝，∴＝，
∴△ABD∽△CBE.
14．解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，延长A′D′到点E′，使D′E′＝A′D′，连接B′E′，如图．
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDA中，BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，DE＝DA，
∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC，∠EBD＝∠C.
同理可得△B′D′E′≌△C′D′A′，
∴B′E′＝A′C′，∠E′B′D′＝∠C′.
∵＝＝，∴＝＝，
∴△ABE∽△A′B′E′，∴∠ABE＝∠A′B′E′，
∴∠ABC＋∠C＝∠A′B′C′＋∠C′，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，而＝，
∴△ABC∽△A′B′C′.
15．解：有两种截法：①从50 cm长的钢筋上截下12 cm与36 cm的两部分；②从50 cm长的钢筋上截下10 cm与25 cm的两部分．
理由如下：由相似三角形的对应边成比例，可知只能将30 cm长的钢筋作为一边，再从50 cm长的钢筋上截下两段．
设从50 cm长的钢筋上截下的两段分别长x cm，y cm，且x
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