第四节 因式分解与分式
河北五年中考命题规律
年份
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2017年未考查
2016
4
分式的计算
考查两个分式的运算
3
3
2015
18
分式化简求值
考查分式化简求值
3
3
2014
7
分式化简
含两项，考查同分母分式的减法运算，含有一个字母
3
3
2013
4
因式分解
给出四个选项，判断变形属于因式分解的是哪一项
2
18
分式化简求值
含三项，涉及分式的加法、除法运算，含有两个字母，利用整体代入思想求值
3
5
命题规律
纵观河北近五年中考，因式分解及分式每年都有所涉及，特别是分式的化简求值，只有2017年未考，都属基础题，3～5分不等，填空、选择、解答三种题型都有，其中因式分解考查了1次，分式化简求值考查了4次.
河北五年中考真题及模拟)
因式分解
1．(2013河北中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
2．(2015唐山路北二模)下列各因式分解正确的是( D )
A．x2＋2x－1＝(x－1)2
B．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2)
C．(x＋1)2＝x2＋2x＋1
D．x3－4x＝x(x＋2)(x－2)
3．(2017邢台中考)分解因式：x3－4x＝__x(x－2)(x＋2)__．
4．(2016邯郸十一中模拟)分解因式：ab4－4ab3＋4ab2＝__ab2(b－2)2__．
分式化简求值
5．(2016河北中考)下列运算结果为x－1的是( B )
A．1－ B.·
C.÷ D.
6．(2014河北中考)化简：－＝( C )
A．0 B．1 C．x D.
7．(2017保定中考模拟)若＝，则的值为( D )
A．1 B. C. D.
8．(2015河北中考)若a＝2b≠0，则的值为____．
9．(2013河北中考)若x＋y＝1，且x≠0，则÷的值为__1__．
10．(2016唐山路北二模)先化简再求值：
÷，其中x满足x2＋x－2＝0.
解：原式＝·
＝·
＝x(x＋1)
＝x2＋x，
∵x2＋x－2＝0，
∴x2＋x＝2，∴原式＝2.
中考考点清单
分解因式的概念
1．把一个多项式化成几个__整式__的__积__的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
2．分解因式与整式乘法的关系：多项式____整式的积．
分解因式的基本方法
3．提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__．
4．运用公式法：
(1)平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__．
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．
【方法点拨】因式分解的一般步骤：
(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式；
(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．
分式的有关概念
5．分式：形如____(A，B是整式，且B中含有__字母__，B≠0)的式子叫分式，其中A叫分子，B叫分母．
6．与分式有关的“五个条件”的字母表示：
(1)分式无意义时，B__＝0__；
(2)分式有意义时，B__≠0__；
(3)分式的值为零时，A__＝0__且B__≠0__；
(4)分式的值为正时，A，B__同号__，即或
(5)分式的值为负时，A，B__异号__，即或
7．最简分式：分子与分母没有__公因式__的分式．
8．有理式：__整式__和__分式__统称为有理式．
分式基本性质
9.＝____，＝____(m≠0)．
10．通分的关键是确定几个分式的__最简公分母__，约分的关键是确定分式的分子、分母的__最大公因式__．
分式运算
11.±＝____；异分母分式加减通过通分转化为__同分母分式__加减，即±＝.
12.×＝____，÷＝____，＝____.
13．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算__乘方__，再算__乘除__，最后进行__加减运算__，遇到括号，先算__括号里面的__．分式运算的结果要化成整式或最简分式．
【方法技巧】分式化简求值题的一般步骤：
(1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；
(2)若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，简称：除法变乘法；
(3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算；
(4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；
(5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式分母不为0)．
,中考重难点突破)
因式分解
【例1】(1)(菏泽中考)将多项式ax2－4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是( A )
A．a(x－2)2 B．a(x＋2)2
C．a(x－4)2 D．a(x＋2)(x－2)
(2)(郴州中考)分解因式：2a2－2＝________.
【解析】有公因式的先提公因式，然后考虑套公式，最后注意要分解到不能再分解为止．
【答案】(1)A；(2)2(a＋1)(a－1)
1．下列因式分解错误的是( B )
A．x2－y2＝(x＋y)(x－y)
B．x2＋y2＝(x＋y)2
C．x2＋xy＝x(x＋y)
D．x2＋6x＋9＝(x＋3)2
2．(2017邢台中考模拟)分解因式x(x＋4)＋4的结果是__(x＋2)2__．
分式的概念及其基本性质
【例2】(1)(衡阳中考)如果分式有意义，则x的取值范围是( A )
A．全体实数 B．x≠1
C．x＝1 D．x>1
(2)(2017海南中考)若分式的值为0，则( A )
A．x＝－1 B．x＝0
C．x＝1 D．x＝±1
【解析】(1)分母不为0，分式有意义；(2)分式的值为0时，分子为0且分母不为0.
【答案】(1)B；(2)A
3．(2017大庆中考)使分式有意义的x的取值范围是( D )
A．x≥ B．x≤
C．x＞ D．x≠
4．(2017温州中考)若分式的值为零，则x的值是( B )
A．0 B．1 C．－1 D．－2
分式化简求值
【例3】(2017资阳中考)先化简，再求值：
÷，其中x＝1.
【解析】先把分母分解因式，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【答案】
解：原式＝[－]×
＝×－×
＝－
＝－
＝，
当x＝1时，
原式＝＝1.
5．(2017杭州中考)化简－的结果是( A )
A．－x－y B．y－x
C．x－y D．x＋y
6．(2017黄冈中考)计算÷的结果为( A )
A. B.
C. D.
7．计算÷的结果是__a－b__．
8．(苏州中考)先化简，再求值：
÷，其中x＝.
解：原式＝÷
＝·
＝，
当x＝时，
原式＝＝.
9．(2017河北中考模拟)先化简：－÷，再从0，1，2，中选取一个合适的数作为x的值代入求值．(简要说明选这个数的理由)
解：原式＝－·
＝－
＝
＝－，
当x＝0，1，2时，原式无意义，所以取x＝，
当x＝时，原式＝－.
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