中档解答组合限时练(二)
[限时:25分钟 满分:28分]
18.(6分)如图J2-1,在△ABC中,∠ABC=90°.
(1)请在边BC上找一点P,作☉P与AC,AB都相切,与AC相切于点Q;(尺规作图,保留作图痕迹)
(2)若AB=3,BC=4,求(1)中所作圆的半径;
(3)连结BQ,(2)中的条件均不变,求sin∠CBQ.
图J2-1
7
19.(6分)如图J2-2,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB为直径作☉O交BC于点D,点E在边AC上,且满足ED=EA.
(1)求∠DOA的度数;
(2)求证:直线ED与☉O相切.
图J2-2
20.(8分)小沈准备给小陈打电话,由于保管不善,电话本上小陈手机号码中,有两个数字已模糊不清.如果用x,y表示这两个看不清的数字,那么小陈的手机号码为139x370y580(手机号码由11个数字组成),小沈记得这11个数字之和是20的整数倍.求:
(1)x+y的值;
7
(2)小沈一次拨对小陈手机号码的概率.
21.(8分)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.
7
7
参考答案
18.解:(1)如图,☉P为所作.
(2)连结PQ,如图.
在Rt△ABC中,AC==5,
设半径为r,BP=PQ=r,PC=4-r.
∵AC与☉P相切于点Q,
∴PQ⊥AC,
∵∠PCQ=∠ACP,
∴Rt△CPQ∽Rt△CAB,
∴=,即=,解得r=.
(3)∵AB,AQ为☉P的切线,∴AB=AQ.
∵PB=PQ,∴AP为BQ的垂直平分线,
∴∠BAP+∠ABQ=90°.
∵∠CBQ+∠ABQ=90°,∴∠CBQ=∠BAP.
在Rt△ABP中,AP==,
∴sin∠BAP===,
7
∴sin∠CBQ=.
19.解:(1)∵∠CBA=50°,
∴∠DOA=2∠DBA=100°.
(2)证明:如图,连结OE.
在△EAO和△EDO中,
∵AO=DO,EA=ED,EO=EO,
∴△EAO≌△EDO,
∴∠EDO=∠EAO=90°,
∴OD⊥DE,
∴直线ED与☉O相切.
20.解:(1)由题意1+3+9+x+3+7+0+y+5+8+0=x+y+36=20n(n为正整数).
因为0≤x≤9,0≤y≤9,所以0≤x+y≤18.
所以36≤x+y+36≤54,
即36≤20n≤54,所以n=2,x+y=4.
(2)因为x+y=4,所以:①x=0,y=4;②x=1,y=3;③x=2,y=2;④x=3,y=1;⑤x=4,y=0.所以一次拨对小陈手机号码的概率为.
21.解:(1)证明:①当k=0时,方程为x+2=0,
∴x=-2,方程有实数根;
7
②当k≠0时,
∵(2k+1)2-4k×2=(2k-1)2≥0,
∴方程有实数根.
∴无论k取任何实数,方程总有实数根.
(2)令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0,
解得x1=-2,x2=-.
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,∴k=1.
∴该抛物线的解析式为y=x2+3x+2,
当x=1时,y2=6,由x2+3x+2=6,
得x1=-4,x2=1.
如图,当y1>y2时,a>1或a
微信/支付宝扫码支付