18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
1.(2018卧龙区模拟)已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∠ADB=30°,AB=2,则OC的长是( B )
(A)1 (B)2
(C)4 (D)2
2.如图,已知,矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此矩形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则AE的长为( B )
(A)3 cm (B)4 cm
(C)5 cm (D)3 cm
3.如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为( D )
(A)5 (B)4
(C) (D)
4.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,则重叠部分
△AFC的面积为( B )
(A)12 (B)10
(C)8 (D)6
5.(2018株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,
P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为 2.5 .
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6.(2018琼中县二模)如图,矩形ABCD中,E在AD上,且EF⊥EC,EF=
EC,DE=2,矩形的周长为16,则AE的长是 3 .
7.如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,已知DF=3,则AE= 3 .
8.(2018张家界)在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足
为F.
(1)求证:DF=AB;
(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD.
(1)证明:在矩形ABCD中,∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAF,
又∵DF⊥AE,
∴∠DFA=90°,
∴∠DFA=∠B,
又∵AD=EA,
∴△ADF≌△EAB,
∴DF=AB.
(2)解:∵∠ADF+∠FDC=90°,
∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠FDC=∠DAF=30°,
∴AD=2DF,
∵DF=AB,
∴AD=2AB=8.
9.矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,CE,AF分别交BD于G,H
两点.
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求证:(1)四边形AFCE是平行四边形;
(2)EG=FH.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AE∥CF,
∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴AE=AD,CF=BC,
∴AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)∵四边形AFCE是平行四边形,
∴CE∥AF,
∴∠DGE=∠AHD=∠BHF,
∵AD∥BC,
∴∠EDG=∠FBH,
在△DEG和△BFH中
∴△DEG≌△BFH(AAS),
∴EG=FH.
10.如图,在矩形ABCD中,E为BC上一点,AE⊥DE,∠DAE=30°,若m,n满足m=++2,且DE=m+n;求BE的长.
解:m,n满足m=++2,
∴解得
∴n=8,
则m=0+0+2=2.
∴DE=m+n=2+8=10,
∵AE⊥DE,∠DAE=30°,
∴AD=2DE=20,∠ADE=60°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,BC=AD=20,
∴∠CDE=30°,
∴CE=DE=5,
∴BE=BC-CE=20-5=15.
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11.(2018南开区三模)如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在OM,ON上,当B在ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,求点D到点O的最大距离.
解:如图,取AB的中点E,连接OD,OE,DE,
∵∠MON=90°,AB=2,
∴OE=AE=AB=1,
∵BC=1,四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=1,
∴DE===,
当OD过点E时,DO的值最大,最大值为+1.
即点D到点O的最大距离为+1.
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