第2课时 矩形的判定
1.▱ABCD中,AC交BD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( A )
(A)AB=AD (B)OA=OB
(C)AC=BD (D)DC⊥BC
2.四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分,要使它成为矩形,需要添加的条件是( B )
(A)AB=CD (B)AC=BD
(C)AB=BC (D)AC⊥BD
3.如图,在锐角△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,下列结论中正确的是( B )
①OE=OF;②CE=CF;③若CE=12,CF=5,则OC的长为6;④当AO=CO时,四边形AECF是矩形.
(A)①② (B)①④
(C)①③④ (D)②③④
4.为了检查自己家新装修的房门是否为矩形,小明手中仅有一根较长的绳子,他先测了门的两组对边是相等的,然后他还需测量 对角线是否相等 (注意:小明手中的绳子只能用来进行长短的测量比较).
5.(2018恩施一模)如图,DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点.
(1)求证:BC=DE;
(2)连接AD,BE,若∠BAC=∠C,求证:四边形DBEA是矩形.
证明:(1)∵E是AC的中点,
∴EC=AC.
∵DB=AC,
∴DB=EC.
又∵DB∥EC,
∴四边形DBCE是平行四边形.
∴BC=DE.
4
(2)∵DB=AC,AE=AC,
∴DB=AE.
又∵DB∥AE,
∴四边形DBEA是平行四边形.
∵∠BAC=∠C,
∴BA=BC,∵BC=DE,
∴AB=DE.
∴▱DBEA是矩形.
6.如图,在▱ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形DEBF是矩形;
(2)若AF平分∠DAB,AE=3,BF=4,求▱ABCD的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DF∥BE,
又∵DF=BE,
∴四边形DEBF是平行四边形,
又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,
∴平行四形DEBF是矩形.
(2)解:∵四边形DEBF是矩形,
∴DF∥AB,DE=BF=4,DF=BE,
∴∠DFA=∠FAB,
又∵AF平分∠DAB,∴∠DAF=∠FAB,
∴∠DFA=∠DAF,∴DA=DF,
又∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
在Rt△ADE中,由勾股定理,得
AD===5,
∴BE=DF=AD=5,
∴AB=AE+BE=3+5=8,
∴S▱ABCD=AB·BF=8×4=32.
7.如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且
∠ABC+∠ADC=180°.
4
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)DF⊥AC,若∠ADF∶∠FDC=3∶2,则∠BDF的度数是多少?
(1)证明:∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)解:∵∠ADC=90°,
∠ADF∶∠FDC=3∶2,
∴∠FDC=36°,
∵DF⊥AC,
∴∠DCO=90°-36°=54°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=OD,
∴∠ODC=54°,
∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=54°-36°=18°.
8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC于点B,AD=24 cm,BC=26 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度向点D运动,同时点Q从点C出发,以3 cm/s的速度向点B运动,其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动,设运动时间为t s.
(1)当t= s时,四边形APQB为矩形;
(2)当四边形PQCD为平行四边形时,求t的值.
解:(1)根据题意得AP=t cm,CQ=3t cm,
∵AD=24 cm,BC=26 cm,
∴BQ=(26-3t) cm,
∵AD∥BC,∠B=90°,
∴当AP=BQ时,
四边形APQB是矩形,
∴t=26-3t,
解得t=6.5,
即当t=6.5 s时,
四边形APQB是矩形.
故答案为6.5.
(2)因为PD=(24-t) cm,
CQ=3t cm,
4
所以当PD=CQ时,
四边形PQCD为平行四边形,
即24-t=3t,
解得t=6.
所以当四边形PQCD为平行四边形时,t的值为6.
4
微信/支付宝扫码支付