18.2 勾股定理的逆定理
知识要点基础练
知识点1 勾股定理的逆定理
1.下列各组数据中,不能作为直角三角形的三边边长的是(A)
A.3,4,6 B.7,24,25
C.8,15,17 D.9,12,15
2.下列说法中正确的有(C)
①若∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,则△ABC是直角三角形;
②若∠A-∠B=∠C,则△ABC是直角三角形;
③若三角形的三边长分别为5,12,13,则△ABC是直角三角形;
④若三角形的三边长分别为2n,3n,4n,则△ABC是直角三角形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.传说古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长24 cm的绳子,请你利用它拉出一个周长为24 cm的直角三角形,那么你拉出的直角三角形的三边的长度分别为 6 cm,8 cm,10 cm .
4.已知两条线段的长为3 cm和2 cm,当第三条线段长为多少时,这三条线段能组成一个直角三角形?
解:当3 cm为斜边时,根据勾股定理,第三边长为32-22=5(cm);
当2 cm和3 cm为直角边时,根据勾股定理,第三边长为32+22=13(cm).
综上,当第三条线段长为5 cm或13 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
知识点2 勾股数
5.下列各组数中是勾股数的一组是(D)
A.2,3,5 B.4,5,6
C.0.3,0.4,0.5 D.9,40,41
6.若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的值是 17 .
综合能力提升练
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7.已知a,b,c是三角形的三边长,若满足a-3+(4-b)2+|5-c|=0,则该三角形的形状是(A)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.现有四根木棒,长度分别为27 cm,6 cm,8 cm,10 cm,从中任取三根木棒,能组成直角三角形的个数为(B)
A.1 B.2
C.3 D.4
9.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为(C)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
10.如图,在5×5的正方形网格中,从在格点上的点A,B,C,D中任取三点,所构成的直角三角形的个数为(C)
A.1 B.2
C.3 D.4
【变式拓展】如果三角形的内角满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中,能作为一个智慧三角形三边边长的一组是(D)
A.1,2,3 B.1,1,2
C.1,1,3 D.1,2,3
11.已知平面直角坐标系内两点A(3,-7)和B(-2,-2),那么A,B两点间的距离等于 52 .
12.某数学兴趣小组在一次数学课外活动时测得一块三角形稻田的三边长分别为14 m,48 m,50 m,则这块稻田的面积为 336 m2 .
13.如图,在所给的9×7的网格图中,每个小正方形的边长均为1,以这些网格点为顶点的三角形称为网格三角形,请找出点M,使以A,B,M为顶点的网格三角形是直角三角形,且面积为2,这样的点M有 6 个.
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14.如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=1,ON=3,点P,Q分别在边OB,OA上运动,则MP+PQ+QN的最小值是 10 .
15.如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
解:连接AC.在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=32+42=5.
在△ACD中,因为AC2+CD2=52+122=169=132=AD2,
所以△ACD是直角三角形,
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.
16.张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
(1)请你分别探究a,b,c与n之间的关系,并且用含n(n>1)的式子表示:a= n2-1 ,b= 2n ,c= n2+1 ;
(2)猜想以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.
解:(2)以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
证明:∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,∴a2+b2=c2,
∴以a,b,c为边的三角形是直角三角形.
拓展探究突破练
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17.如图,在边长为12 cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动.若P,Q分别从A,B同时出发,其中任意一点到达目的地后,两点同时停止运动,求:
(1)经过6秒后,BP= 6 cm,BQ= 12 cm;
(2)经过几秒后,△BPQ是直角三角形?
(3)经过几秒△BPQ的面积等于103 cm2?
解:(2)由题可知,经过x秒后,BP=12-x,BQ=2x,0≤x≤6.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=12 cm,∠A=∠B=∠C=60°,
当∠PQB=90°时,∠BPQ=30°,
∴BP=2BQ,∴12-x=2×2x,∴x=125.
当∠QPB=90°时,∠PQB=30°,
∴BQ=2PB,∴2x=2(12-x),x=6.
综上,经过125秒或6秒后,△BPQ是直角三角形.
(3)过点Q作QD⊥AB于点D.
∵∠QDB=90°,∴∠DQB=30°,
∴DB=12BQ=x,
在Rt△DBQ中,由勾股定理,得DQ=3x,
∴S△BPQ=(12-x)×3x2=103,解得x1=10,x2=2,
∵x=10时,2x>12,故舍去,∴x=2.
答:经过2秒△BPQ的面积等于103 cm2.
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