勾股定理
章末小结与提升
勾股定理勾股定理在Rt△ABC中,a,b是直角边,c是斜边,则 a2+b2=c2 用面积法证明勾股定理应用:在直角三角形中已知两边长,可求第三边长勾股定理的逆定理a,b,c是△ABC的三边长,若a2+b2=c2,则△ABC是 直角 三角形应用:判定三角形是直角三角形
类型1 利用勾股定理求线段的长
典例1 如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC边上的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( )
A.53 B.52
C.4 D.5
【解析】设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x.∵D是BC边的中点,∴BD=3,在Rt△NBD中,由勾股定理,得x2+32=(9-x)2,解得x=4.∴线段BN的长为4.
【答案】 C
【针对训练】
1.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以O为圆心,OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标是(C)
A.-5 B.5
C.-13 D.13
2.一块直角三角形绿地,两直角边长分别为3 m,4 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且只能将长为3 m的直角边向一个方向延长,则等腰三角形的腰长为 4或5或256 m.
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3.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B'处,点A对应点为A',且B'C=3,则AM的长为 2 .
类型2 勾股定理的实际应用
典例2
如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m.求旗杆的高度.(滑轮上方的部分忽略不计)
【解析】如图所示,作BC⊥AE于点C,则BC=DE=8.设AE=x m,则AB=x m,AC=(x-2)m,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17,即旗杆的高度为17 m.
【针对训练】
1.一个无盖的圆柱形杯子,底面直径长12 cm,高为16 cm,将一根长24 cm的竹筷子放入其中,杯口外面露出一部分,甲、乙、丙、丁四名同学测量露在外面一部分的长度,他们测量的结果是甲:3 cm,乙:6 cm,丙:9 cm,丁:12 cm,则测量正确的是(B)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.如图,一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距(C)
A.25海里 B.32海里
C.40海里 D.56海里
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3.如图,在长方形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E,若DE=DC=2,AE=2EM,则BM的长为 455 .
4.如图,某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人,在平坦的操场上进行走展示.输入指令后,机器人从出发点A先向东走10米,又向南走40米,再向西走20米,又向南走40米,再向东走70米到达终止点B.求终止点B与原出发点A的距离AB.
解:过点A作AC⊥MB于点C.
在Rt△ABC中,AC=40+40=80,BC=70-20+10=60,
AB=602+802=100.
答:终止点B与原出发点A的距离AB为100米.
类型3 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形
典例3 若△ABC的三边a,b,c满足a=m-1,b=2m,c=m+1(m>1),试判断△ABC的形状.
【解析】∵a2+b2=(m-1)2+(2m)2=m2+2m+1,c2=(m+1)2=m2+2m+1,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
【针对训练】
1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且满足b2-a2=c2,则下列判断正确的是(A)
A.∠A与∠C互余 B.∠B与∠C互余
C.∠A与∠B互余 D.△ABC是等腰三角形
2.若△ABC的三边a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是(C)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
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3.如图,P是等边△ABC内一点,连接PA,PB,PC,PA∶PB∶PC=3∶4∶5,以AC为边作△AP'C≌△APB,连接PP',则有以下结论:①△APP'是等边三角形;②△PCP'是直角三角形;③∠APB=150°;④∠AP'C=105°.其中一定正确的是 ①②③ .(把所有正确答案的序号都填在横线上)
类型4 勾股定理及其逆定理的综合应用
1.如图,在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC,要求点C也在格点上,这样的Rt△ABC能作出(D)
A.2个 B.3个
C.4个 D.6个
2.如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则△ABC的面积为(C)
A.52 B.5
C.52 D.5
3.如图,在四边形ABCD中,DA⊥AB,DA=AB=2,BC=5,DC=1,则∠ADC的度数是 135° .
4.如图,E,F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,CE=14BC,F为CD的中点,连接AF,AE,EF.请判断△AEF的形状,并说明理由.
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解:△AEF是直角三角形.
理由:设AB=4a,则DF=FC=2a,EC=a,BE=3a,
根据勾股定理得EF=(2a)2+a2=5a,AF=(2a)2+(4a)2=20a,AE=(3a)2+(4a)2=5a.
∵EF2+AF2=5a2+20a2=25a2=AE2,
∴△AEF是直角三角形.
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