小专题(三) 勾股定理与其逆定理的综合应用
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,利用这个关系,在已知两边或者三边之间的关系的基础上可求出未知的边的长.勾股定理的逆定理是判断一个三角形为直角三角形的重要依据之一,所以这两个知识点是中考必考内容,可能单独考查其中一个知识点,也可能把两个知识点综合起来考查.
类型1 勾股定理在折叠问题中的应用
1.如图,在Rt△ABC中,点E在AB边上,把Rt△CBE沿CE折叠后,使点B恰好落在斜边AC的中点O处,若BC=3,则折痕CE的长为(B)
A.3 B.23
C.33 D.6
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连接B'D,则B'D的最小值是(A)
A.210-2 B.6
C.213-2 D.4
3.如图,在矩形ABCD中,沿折痕MN将D点折叠至B处,已知AB=6,BC=8,则MN的长度为(B)
A.154 B.152
C.158 D.53
4.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG.若AB=4,BC=8,则△ABF的面积为 6 .
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类型2 勾股定理与分类讨论问题
5.在△ABC中,AB=10,AC=210,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于(C)
A.10 B.8
C.6或10 D.8或10
6.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,P为BC边的三等分点,连接AP,则AP的长为 10或13 .
7.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 2或23或27 .
类型3 勾股定理与规律探索题
8.如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边向外作正方形,其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去,则S2019的值为(B)
A.122015 B.122016
C.222015 D.222016
提示:由题意可得,S1=4,S2=2=4×12,S3=1=4×122,S4=12=4×123,…,Sn=4×12n-1=12n-3,所以S2019=122019-3=122016.
9.如图,在正方形ABCB1中,AB=1,AB与直线l的夹角为30°,延长CB1交直线l于点A1,作正方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线l于点A2,作正方形A2B2C2B3,延长C2B3交直线l于点A3,作正方形A3B3C3B4,…,以此类推,则A2018A2019= 2×31009 .
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类型4 勾股定理的实际应用
10.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2,AC=35米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连,若AB=10米,则旗杆BC的高度为(A)
A.5米 B.6米
C.8米 D.(3+5)米
11.如图,长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm,如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要 10 cm.
12.如图,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道.为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上,设想过C点作直线AB的垂线l,过点B作一条直线(在山的旁边经过),与l相交于D点,经测量∠ABD=135°,BD=800米,求应在直线l上距离D点多远的C处开挖?(2≈1.414,精确到1米)
解:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.
∵∠ABD=135°,∴∠DBC=45°,
∴∠D=45°,∴CB=CD.
在Rt△DCB中,CD2+BC2=BD2,即2CD2=8002,
∴CD=4002≈566(米).
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答:应在直线l上距离D点约566米的C处开挖.
类型5 勾股定理及其逆定理的综合应用
13.在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,则该三角形的面积为(A)
A.24 B.48
C.40 D.条件不足,不能确定
14.如图,已知△ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,点M,N为垂足,若BD=32,DE=2,EC=52,则AC的长为(D)
A.322 B.332
C.352 D.3102
15.如图所示,有一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地的面积是 24 平方米.
16.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
解:过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=20,BC=AB2-AC2=202-102=103.
∵AB∥CF,∴∠MCB=∠ABC=30°,
∴BM=12BC=53,
∴CM=BC2-BM2=(103)2-(53)2=15.
在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°.
又∵∠BMD=90°,∴∠MBD=45°,
∴MD=BM=53,
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∴CD=CM-MD=15-53.
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