小专题(一) 二次根式的规律探究
涉及二次根式的规律型探究题,考查类型主要有:二次根式的排列规律、二次根式的化简规律以及二次根式的运算规律等.
类型1 二次根式的排列规律题
二次根式的排列规律题是根据二次根式的特点,发现其排列规律,得出一般性结论的过程,有时也会与其他数学知识相结合.
1.将1,2,3三个数按图中方式排列,若规定(a,b)表示第a排第b列的数,则(8,2)与(2014,2014)表示的两个数的积是(B)
1
第1排
3
2
第2排
3
2
1
第3排
1
3
2
1
第4排
…
第4列
第3列
第2列
第1列
…
A.6 B.3
C.2 D.1
2.一列数按下列规律排列:-1,2,-3,2,-5,…,按照这个规律,第2019个数是 -2019 .
3.下面是一个按某种规律排列的数阵:
1
2
第1行
3
2
5
6
第2行
7
22
3
10
11
23
第3行
3
13
14
15
4
17
32
19
25
第4行
…
…
…
…
…
…
…
…
…
根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左向右数第n-2个数是 n2-2 .(用含n的代数式表示)
4.阅读下列材料,解答后面的问题.
材料:将一组数3,6,3,23,15,…,310按下面的方法进行排列:
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
3
6
3
23
15
第1行
32
21
26
33
30
第2行
…
…
…
…
…
…
我们规定:23的位置记为(1,4),26的位置记为(2,3).
问题:(1)若一个数a的位置记作(5,1),求a的值;
(2)若b是这组数中最大的有理数,则数b的位置记为 (6,2) .
解:(1)a=21×3=37.
(2)提示:这组数中最大的有理数为9,
又∵9=3×27,27=5×5+2,∴数b的位置记为(6,2).
类型2 二次根式的化简与运算规律题
二次根式的化简与运算规律题是通过对给出的二次根式进行运算或对给出的与二次根式有关的等式进行观察,发现规律,得出一般性结论,并利用一般性结论进行与二次根式有关的运算.
5.阅读下列内容,解答后面的问题.
根据分数的基本性质和平方差公式有:12+1=2-1(2+1)(2-1)=2-1(2)2-12=2-1.
3
(1)类似地,完成填空:①13+2= 3-2 ;
②12+3= 2-3 ;
③15+2= 5-2 ;
…
(2)根据上述等式规律,猜想:1n+1+n= n+1-n .(n为正整数,不用证明)
(3)利用(2)的结论,计算12019+2018+12018+2017+…+12+1.
解:(3)原式=2019-2018+2018-2017+…+2-1
=2019-1.
3
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