第16课时 直角三角形考点梳理 自主测试
考点一 直角三角形的性质
1.直角三角形的两锐角互余.
2.直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
考点二 直角三角形的判定
1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形.
2.有两角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则该三角形是直角
三角形.
4.勾股定理的逆定理:如果三角形一条边的平方等于另外两条边
的平方和,那么这个三角形是直角三角形.考点梳理 自主测试
1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成
直角三角形的是( )
A.3,4,5 B.6,8,10 D.5,12,13
答案:C
2.将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知
∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF的度数为
( )
A.30° B.40° C.25°D.35°
答案:C考点梳理 自主测试
3.如图,在△ABC中,AB=AC=8,AD是底边上的高,E为AC中点,则DE=
.
答案:4
4.已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为 .考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点1 勾股定理
【例1】如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8
cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,
求CD的长.
解:设CD长为x cm,由折叠得△ACD≌△AED.
∴AE=AC=6 cm,∠AED=∠C=90°,DE=CD=x cm.
在Rt△ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,
∴EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x)cm.
在Rt△DEB中,由勾股定理得DE2+BE2=DB2.
∴x2+42=(8-x)2,解得:x=3.
∴CD的长为3 cm.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
变式训练有一块直角三角形的绿地,量得两直角边的长分别为6
m,8 m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直
角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点2 勾股定理的逆定理
【例2】如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=4,CD=13,
CB=12,求四边形ABCD的面积.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点3 勾股定理的实际应用
【例3】如图,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距14 km,C,D
为两村庄(可看为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知
DA=8 km,CB=6 km,现要在铁路上建一个土特产收购站E,使C,D两
村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?
分析:因为DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,在AB上找一点可构成两
个直角三角形,我们可想到通过勾股定理列方程进行求解.
解:设E站应建在距A站x km处.
根据勾股定理有82+x2=62+(14-x)2,解得:x=6.
所以E站应建在距A站6 km处.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点4 直角三角形性质的综合应用
【例4】已知,在△ABC中,AB=AC,过点A的直线α从与边AC重合
的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ,直线α交BC边于点P(点P
不与点B、点C重合),△BMN的边MN始终在直线α上(点M在点N的
上方),且BM=BN,连接CN.
(1)当∠BAC=∠MBN=90°时,
①如图a,当θ=45°时,∠ANC的度数为 ;
②如图b,当θ≠45°时,①中的结论是否发生变化?说明理由.
(2)如图c,当∠BAC=∠MBN≠90°时,请直接写出∠ANC与∠BAC之
间的数量关系,不必证明.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
分析:在(1)中,①由AB=AC,∠BAC=∠MBN=90°,θ=45°,可得AN垂
直平分BC,同理可得BC垂直平分AN,因此AC=CN,所以有
∠ANC=θ=45°;②求角的度数,一般要想办法把它放到直角三角形
中进行,因此可分别过B,C两点作MN的垂线,用三角形全等作为桥
梁找到解决问题所需要的边角关系;(2)根据②的思路得出结论.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
解:(1)①45°;②不变.
理由:过B,C分别作BD⊥AP于点D,CE⊥AP于点E.
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°.
∵BD⊥AE,∴∠ADB=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠EAC.
又AB=AC,∠ADB=∠CEA=90°,
∴△ABD≌△CAE,
∴AD=CE,BD=AE.
∵BD是等腰直角三角形NBM斜边上的高,
∴BD=DN,∠BND=45°,∴DN=BD=AE,
∴DN-DE=AE-DE,即NE=AD=EC.
∵∠NEC=90°,∴∠ANC=45°.考点梳理整合
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
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