5.3.2 命题、定理、证明
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 命题的定义
1．下列语句中，是命题的是( )
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．在直线AB上取一点C
C．用圆规画圆
D．直角都相等吗？
2．下列语句中，不是命题的是( )
A．如果a＞b，那么b＜a B．同位角相等
C．垂线段最短 D．反向延长射线OA
3．判断下列语句是不是命题．
(1)画∠AOB的平分线；
(2)平面上有几个点？
(3)两点之间，线段最短；
(4)若a≠b，则|a|≠|b|.
知识点 2 命题的组成
4．把命题“三角形的内角和为180°”写成“如果……那么……”的形式是____________________________________________________．
5．指出下列命题的题设和结论：
(1)如果a是有理数，那么a2≥0；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
知识点 3 真命题和假命题
6．下列命题中是真命题的是( )
A．两个锐角之和为钝角
B．两个锐角之和为锐角
C．钝角大于它的补角
D．锐角小于它的余角
7．下列命题中，假命题是( )
A．所有的有理数都可用数轴上的点表示
B．等角的补角相等
C．若|a|＝4，则a＝4
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D．两点之间，线段最短
8．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，指出它们的题设和结论，并判断其真假．
(1)有理数一定是自然数；
(2)两个负数之和仍为负数；
(3)平行于同一条直线的两条直线平行．
知识点 4 定理与证明
9．下列说法错误的是( )
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就是定理
10．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( )
A．a＝－2 B．a＝－1
C．a＝1 D．a＝2
11．已知：如图5－3－17，∠1和∠2互为补角，∠A＝∠D.
求证：AB∥CD.
证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，
∴∠1＝∠CGD(______________)．
又∵∠1与∠2互为补角(已知)，
∴∠CGD与∠2互为补角，
∴AE∥FD(____________________)，
∴∠A＝∠BFD(____________________)．
∵∠A＝∠D(已知)，
∴∠BFD＝∠D(________________)， 图5－3－17
∴AB∥CD(____________________)．
12．写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
已知：如图5－3－18，____________________．
求证：________．
然后给出证明．
图5－3－18
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13．思考下列五句话：(1)墙是白色的；(2)2加3等于5；(3)x2不是负数；(4)化简a＋2(a－1)；(5)什么是命题？在这五句话中，是命题的有( )
A．2句 B．3句
C．4句 D．5句
14．命题：(1)若|x|＝|y|，则x＝y；(2)大于直角的角是钝角；(3)若一个角的两边与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补．其中假命题是________(填写假命题的序号)．
15．命题“等角的补角相等”的题设是________________，结论是__________________．
16. 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题．
(1)同位角相等；
(2)同角的补角相等；
(3)相等的角是对顶角．
17．如图5－3－19，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并证明你的结论．
图5－3－19
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18．阅读下面内容并做出相应的解答：
“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设、结论恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
请你写出“两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同位角相等”的逆命题，并指出逆命题的题设与结论，判断它的真假，并说明理由．
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19．如图5－3－20，①∠D＝∠B，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＋∠2＋∠4＝180°，⑤∠B＋∠1＋∠3＝180°.
(1)从上述各项中选出哪一项作为题设能说明∠E＝∠F?
(2)选出其中的一项加以说明．
图5－3－20
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教师详解详析
1．A 2.D
3．解：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题．
4．如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个角的和为180°
5．解：(1)题设：a是有理数；结论：a2≥0.
(2)题设：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线；结论：这两条直线平行．
6．C
7．C [解析] 命题A，B，D显然都是正确的，均为真命题；对于命题C，若|a|＝4，则a＝±4，所以命题C是假命题．
8．解：(1)如果一个数是有理数，那么它一定是自然数．题设：一个数是有理数．结论：这个数一定是自然数．命题为假命题．
(2)如果一个数是某两个负数之和，那么这个数是负数．题设：有一个数是某两个负数之和．结论：这个数是负数．命题为真命题．
(3)如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行．题设：两条直线都与同一条直线平行．结论：这两条直线互相平行．命题为真命题．
9．C
10．A [解析] 选项A，a＝－2满足a2＞1，但不满足a＞1，故选项A就是能够证明原命题是假命题的反例．选项B，a＝－1不满足原命题的题设a2＞1，故选项B不会是反例．选项C，a＝1不满足原命题的题设a2＞1，故选项C不会是反例．选项D，把a＝2代入命题“若a2＞1，则a＞1”的题设和结论，都成立，故不是反例．故选A.
11．对顶角相等 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行
12．解：已知：如图，AB⊥EF，垂足为B，CD⊥EF，垂足为D.
求证：AB∥CD.
证明：∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABD＝∠CDF＝90°，
∴AB∥CD.
13．B [解析] (1)(2)(3)是命题，(4)(5)不是命题．
14．(1)(2)
15．两个角分别是相等的两个角的补角
这两个角相等
16．解：(1)如果两个角是同位角，那么这两个角相等，是假命题．
(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，是真命题．
(3)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题．
17．解：∠AED与∠C相等．
证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°，
∴∠2＝∠4，∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE.
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C.
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18．解：逆命题：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则内错角相等．
题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
结论：内错角相等．
它是真命题．
理由：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行，所以有内错角相等．
19．解：(1)②∠1＝∠2和⑤∠B＋∠1＋∠3＝180°.
(2)选②∠1＝∠2加以说明如下：
若∠1＝∠2，
则AD∥CB(内错角相等，两直线平行)，
所以∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等)．
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