5.2.2 平行线的判定
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 同位角相等，两直线平行
1．如图5－2－5，若∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )
图5－2－5
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．AD∥EF D．EF∥BC
2．[2017·德州] 如图5－2－6是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是______________________________．
图5－2－6
3．如图5－2－7，若∠1＝∠2，则________∥________；若∠2＝∠3，则________∥________．
图5－2－7
4．如图5－2－8，B为DC上一点，若∠DBE＝58°，则当∠C＝________°时，直线AC∥BE.
图5－2－8
5．已知：如图5－2－9，∠1＝120°，∠C＝60°，判断AB与CD是否平行，为什么？
图5－2－9
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知识点 2 内错角相等，两直线平行
6．如图5－2－10，请在括号内填上正确的理由：
因为∠DAC＝∠C(已知)，
所以AD∥BC(________________________)．
图5－2－10
7．如图5－2－11，若∠1＝∠2，则________∥________；若∠3＝∠4，则________∥________．
图5－2－11
8．已知：如图5－2－12，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1＝∠2，BE与CF平行吗？请说明理由．
补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由．
解：BE∥CF.理由如下：
∵AB⊥BC，CD⊥BC(____________)，
∴∠ABC＝∠BCD＝__________°(垂直的定义)．
∵∠1＝∠2(__________)，
∴∠EBC＝∠FCB(________________)， 图5－2－12
∴BE∥CF(__________________________)．
9．如图5－2－13，已知∠DAB＝70°，AC平分∠DAB，∠1＝35°.判断AB与CD的位置关系．
图5－2－13
知识点 3 同旁内角互补，两直线平行
10．如图5－2－14，若∠1＝100°，∠4＝80°，则________∥________，理由是________________________；若∠3＝70°，则∠2＝________°时，也可推出AB∥CD.
图5－2－14
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11．如图5－2－15，∠1＋∠2＝180°，a与b平行吗？为什么？
补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由．
解：a∥b.理由如下：
∵∠1＝∠3(____________)，∠1＋∠2＝180°(________)，
∴∠________＋∠2＝180°(等量代换)，
∴a∥b(______________________________)．
图5－2－15
12．已知：如图5－2－16所示，∠2＝∠3，∠1＋∠2＝180°.试说明：AB∥EF.
图5－2－16
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13．如图5－2－17，下列说法错误的是( )
图5－2－17
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c
D．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
14．如图5－2－18，下列能判定AB∥EF的条件有( )
①∠B＋∠BFE＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.
图5－2－18
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
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15．如图5－2－19，将含30°角的三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB中，相互平行的线段有________组．
图5－2－19
16．已知：如图5－2－20，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3.说明AB∥DC的理由．
补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由．
解：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC.
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠________＝∠________．(等量代换)
∵∠1＝∠3，(____________)
∴∠2＝∠________．(________________)
∴AB∥DC.(____________________)．
图5－2－20
17．如图5－2－21，∠1＋∠B＝180°，∠2＝∠D，AD与EF平行吗？为什么？
图5－2－21
18．如图5－2－22，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2.
(1)请说明AB∥CD的理由；
(2)试问BM与DN是否平行？为什么？
图5－2－22
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19．如图5－2－23，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2＝90°，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
图5－2－23
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教师详解详析
1．C
2．同位角相等，两直线平行
[解析] 由作平行线的过程可知，三角板移动前后的60°角为同位角，根据“同位角相等，两直线平行”的判定条件，可得过点P的直线与直线l平行．
3．AB DE BC EF
4．58 [解析] 观察图形，发现∠DBE和∠C恰好是直线AC和BE被CD所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，知当∠C＝∠DBE＝58°时，直线AC∥BE.
5．解：AB与CD平行．
理由如下：∵∠1＝120°，
∴∠2＝180°－∠1＝180°－120°＝60°.
∵∠C＝60°，
∴∠2＝∠C，∴AB∥CD.
6．内错角相等，两直线平行 [解析] 因为∠DAC和∠C是直线AD，BC被直线AC所截形成的内错角，所以根据“内错角相等，两直线平行”，可得AD∥BC.
7．AD BC AB CD
[解析] 解决此题的关键是确定好所给两角是哪两条直线被哪条直线所截而成的内错角．发现∠1和∠2恰好是直线AD和BC被CA所截形成的内错角，所以直线AD∥BC.∠3和∠4恰好是直线AB和CD被CA所截形成的内错角，所以直线AB∥CD.
8．已知 90 已知 等角的余角相等 内错角相等，两直线平行
9．解：∵∠DAB＝70°，AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAB＝35°.
又∵∠1＝35°，∴∠1＝∠CAB，
∴AB∥CD.
10．AB CD 同旁内角互补，两直线平行 110
11．对顶角相等 已知 3 同旁内角互补，两直线平行
12．解：∵∠2＝∠3，∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°(等量代换)，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
13．C
14．C [解析] ①∵∠B＋∠BFE＝180°，∴AB∥EF，故①正确；
②∵∠1＝∠2，∴DE∥BC，故②错误；
③∵∠3＝∠4，∴AB∥EF，故③正确；
④∵∠B＝∠5，∴AB∥EF，故④正确．
15．3 [解析] ∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥EC(同位角相等，两直线平行)．
∵∠BCA＝∠CAE，
∴AE∥DB(内错角相等，两直线平行)．
∵∠ACE＝∠DEC，
∴AC∥DE(内错角相等，两直线平行)．
故互相平行的线段有AE∥DB，AB∥EC，AC∥DE，共3组．
16．1 2 已知 3 等量代换 内错角相等，两直线平行
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17．解：AD∥EF.理由如下：因为∠2＝∠D，
所以AD∥BC.
又因为∠1＋∠B＝180°，
所以EF∥BC(同旁内角互补，两直线平行)，
所以AD∥EF(平行公理的推论)．
18．解：(1)∵AB⊥EF，CD⊥EF(已知)，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义)，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
(2)平行．理由：
∵∠1＝∠2，∠ABE＝∠CDE，∴∠MBE＝∠NDE(等式的性质)，
∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．
19．解：AB∥CD.理由如下：
因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∠1＋∠2＝90°，
所以∠ABD＋∠BDC＝2∠1＋2∠2＝180°，
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
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