阶段测评(五) 图形的相似与解直角三角形
(时间：60分钟，总分100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2018·临沂中考)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是( B )
A．9.3 m B．10.5 m C．12.4 m D．14 m
,(第1题图)) ,(第3题图)) ,(第4题图))
2．(2018·滨州中考)在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)，若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为( C )
A．(5，1) B．(4，3) C．(3，4) D．(1，5)
3．(2018·宜宾中考)如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于( A )
A．2 B．3 C. D.
4．(2018·恩施中考)如图，在正方形ABCD中，G为CD边的中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长度为( D )
A．6 B．8 C．10 D．12
5．(2018·荆门中考)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝( C )
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
,(第5题图)) ,(第6题图)) ,(第7题图))
6．(2018·吉林中考)如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN.若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为( A )
A．12 B．13 C．14 D．15
7．(2018·长春中考)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800 m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( D )
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A．800 sin α m B．800 tan α m C. m D. m
8．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( A )
A．160 m B．120 m C．300 m D．160 m
,(第8题图)) ,(第9题图)) ,(第10题图))
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，对于结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③sin ∠BQP＝；④S四边形ECFG＝2S△BGE，其中正确的个数是( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE，EF.下列结论：
①tan ∠ADB＝2；
②图中有4对全等三角形；
③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；
④BD＝BF；
⑤S四边形DFOE＝S△AOF，
上述结论中正确的个数是( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．(2018·云南中考)如图，已知AB∥CD，若＝，则＝____．
,(第11题图)) ,(第12题图)) ,(第13题图)) ,(第14题图)) ,(第15题图))
12．(2018·潍坊中考)如图，一艘渔船正以60 n mile/h的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5 h后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75 n mile/h的速度继续航行____h即可到达．(结果保留根号)
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13．如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，如果＝，那么＝____．
14．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan ∠APD的值是__2__．
15．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM＝__或__时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
三、解答题(本大题4小题，共50分)
16．(10分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CB的延长线上，连接DE，交AB于点F，连接DB，∠AFD＝∠DBE，且DE2＝BE·CE.
(1)求证：∠DBE＝∠CDE；
(2)当BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵DE2＝BE·CE，∴＝.
∵∠E＝∠E，∴△DBE∽△CDE.
∴∠DBE＝∠CDE；
(2)∵∠DBE＝∠CDE，∠DBE＝∠AFD，
∴∠CDE＝∠AFD.∴AB∥DC.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD.∴∠ADB＝∠ABD.
∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形．
17．(12分)如图是某小区入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9 m，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3 m，灯臂OM长为1.2 m(灯罩长度忽略不计)，∠AOM＝60°.
(1)求点M到地面的距离；
(2)某搬家公司一辆总宽2.55 m，总高3.5 m的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65 m的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：≈1.73，结果精确到0.01 m)
解：(1)如图，过点M作MN⊥AB，交BA的延长线于点N.
在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，
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∴∠M＝30°.∴ON＝OM＝0.6.
∴NB＝ON＋OB＝3.3＋0.6＝3.9.
即点M到地面的距离是3.9 m；
(2)货车能安全通过．
取CE＝0.65，EH＝2.55，
∴HB＝3.9－2.55－0.65＝0.7.
过点H作GH⊥BC，交OM于点G，过O作OP⊥GH于点P.
∵∠GOP＝30°，∴tan 30°＝＝.
∴GP＝OP≈≈0.40.
∴GH≈3.3＋0.40＝3.70＞3.5.
∴货车能安全通过．
18.(12分)(2018·衡阳中考)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2 000 m到达石鼓书院A处，
参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图．
(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；
(2)若这名徒步爱好者以100 m/min的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15 min内能否到达宾馆？
解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠A＝∠ECA＝30°，AC＝2 000，
∴CD＝1 000.
答：这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园途中与宾馆之间的最短距离为1 000 m；
(2)在Rt△CBD中，∠B＝∠BCF＝45°，CD＝1 000，
∴CB＝CD＝1 000，
∴1 000÷100＝10＜15，
答：这名徒步爱好者15 min内能到达宾馆．
19．(16分)(2018·邵阳中考)如图1，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE.
(1)证明：四边形OEFG是平行四边形；
(2)将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2，连接GM，EN.
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①若OE＝，OG＝1，求的值；
②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．(不要求证明)
(1)证明：如图1，连接AC.∵点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴OE∥AC，OE＝AC，GF∥AC，GF＝AC.
∴OE∥GF，OE＝GF.
∴四边形OEFG是平行四边形；
(2)解：①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，∴OG＝OM，OE＝ON，∠GOM＝∠EON.
∴＝＝＝.∴△OGM∽△OEN.
∴＝＝.
②(答案不唯一)如AC＝BD.
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