有理数
本章总结提升
问题1 有理数的分类
例1 把下列各数填入相应的圈内：
－0.5，－7，＋2.8，－900，－3，99.9，0，4.
图1－T－1
【归纳总结】 有理数的分类：
(1)按定义分类：
有理数
(2)按性质分类：
有理数
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问题2 利用正、负数解决实际问题
在引入负数后，0有什么意义？如何利用正、负数表示实际生活中具有相反意义的量？
例2 根据2018年最新的身高标准，一个13周岁的男生的标准身高为159.5 cm，高于标准身高的记为正，低于标准身高的记为负．某校七年级一男生寝室8名13周岁的学生在体检中测得他们的身高汇总如下表：
姓名
张明
王锋
李志伟
吴华
王小飞
赵康鹏
胡彪
张元
身高
(cm)
－1.5
2.8
0.8
0
－0.7
1.6
0
－1.1
(1)哪名学生的身高最高？哪名学生的身高最矮？
(2)张明的身高为多少？李志伟呢？
(3)该寝室中身高最高的比最矮的高多少？
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【归纳总结】 利用正、负数解决实际问题的“三确定”：
①确定“基准”；
②确定“相反意义的量”；
③确定每个数所表示的实际意义．
问题3 有理数的有关概念
数轴、相反数、绝对值的概念和性质分别是什么？怎样利用数轴解释一个数的相反数和绝对值？
例3 如图1－T－2，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题：
(1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D，B表示的数互为相反数，那么图中5个点所表示的数中有几个负数？图中5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？
图1－T－2
【归纳总结】 数形结合思想——每一个有理数都能用数轴上的点来表示，故借助数轴可以清晰地理解相反数、绝对值的概念，并能直观、明确地比较有理数的大小．在后续学习中，利用数轴可以很巧妙地把问题化繁为简．
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问题4 比较有理数的大小
有理数的大小比较常用的方法有哪些？如何有效选择最优方法比较有理数的大小？
例4 已知a，b两数在数轴上所对应的点的位置如图1－T－3所示，试比较a，－a，b，－b的大小．
图1－T－3
【归纳总结】
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详解详析
【整合提升】
例1 [解析] 此题的关键是两个图中的两个圆圈的重合部分，(1)中的重合部分应该既是负数又是整数的数，(2)中的重合部分应该既是整数又是正数的数．
解：
例2 [解析] 张明的身高记为－1.5 cm，表示比标准身高低1.5 cm，则其实际身高为158.0 cm；王锋的身高记为2.8 cm，表示比标准身高高 2.8 cm，则其实际身高为162.3 cm.最高与最矮相差162.3－158.0＝4.3(cm)．
解：(1)王锋的身高最高；张明的身高最矮．
(2)张明的身高为158.0 cm；李志伟的身高为160.3 cm.
(3)该寝室中身高最高的比最矮的高4.3 cm.
例3 [解析] 对于数轴要具有三要素：原点、单位长度和正方向．本题中应该根据已知条件先确定原点的位置，则点表示的数自然就找到了．
解：(1)根据题意，由表示相反数的点到原点的距离相等，而点A，B之间的距离为6，可知点A，B表示的数分别为－3和3，所以点C表示的数是－1.
(2)由表示相反数的点到原点的距离相等，而点D，B之间的距离为9，可知点D，B表示的数分别为－4.5和4.5，则点D，E，A表示负数，故图中5个点所表示的数中有3个负数．点C表示的数的绝对值最小．
例4 [解析] 在这里，不知道a，b具体的数值，因此用我们熟悉的方法不易比较，我们可以想到比较大小还有另一个方法就是借助数轴，只要知道a，－a，b，－b在数轴上所对应的点的位置就可以比较出大小．
解：由于a与－a，b与－b相反数，又因为互为相反数的两个数在数轴上的对应点到原点的距离相等，所以可以画出表示－a，－b的点，如图：
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由此易知a＜－b＜b＜－a.
[点评] 运用数形结合思想，利用数轴的直观性，一些比较复杂或难解的问题往往可以迎刃而解．但要准确识图、绘图，抓住对应关系．
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