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专题4三角函数测试题
命题报告:
高频考点:三角函数求值和化简、三角函数的图像和性质,三角函数恒等变换以及解三角形等。
考情分析:本单元再全国卷所占分值约15分左右,如果在客观题出现,一般三题左右,如果出现值解答题中,一般一题,难度不大
重点推荐:第22题,是否存在问题,有一定难度。21题数学文化题。
一. 选择题
1. 若角600°的终边上有一点(﹣1,a),则a的值是( )
A. B. C.2 D.﹣2
【答案】:B
【解析】角600°的终边上有一点(﹣1,a),∴tan600°=tan(540°+60°)=tan60°==,
∴a=﹣.故选:B
2. (2018•贵阳二模)已知sin(π﹣α)=﹣,且α∈(﹣),则tan(2π﹣α)=( )
A. B. C. D.
【答案】:B
3. (2018•安徽二模)θ为第三象限角,,则sinθ﹣cosθ=( )
A. B. C. D.
【答案】:B
【解析】∵θ为第三象限角, =,
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∴tanθ==2,再根据sin2θ+cos2θ=1,sinθ<0,cosθ<0,
∴sinθ=﹣,cosθ=﹣,∴sinθ﹣cosθ=﹣,故选:B.
4. 函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称,则φ可以是( )
A. B. C. D.
【答案】:B
【解析】函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移个单位后,可得y=sin(2x﹣+φ).∵图象关于原点对称,∴φ﹣=kπ,k∈Z
可得:φ=.当k=0时,可得φ=.故选:B.
5. (2018•桂林三模)关于函数f(x)=2cos2+sinx(x∈[0,π]),则f(x)的最大值与最小值之差为( )
A.3 B.2 C.0 D.﹣2
【答案】:A
【解析】f(x)=2cos2+sinx=cosx+sinx+1=,
∵x∈[0,π],∴x+∈[,],可得sin(x+)∈[﹣,1],
∴函数f(x)∈[0,3],则f(x)的最大值与最小值之差为3.故选:A. 不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示.则P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少?
【分析】△PAB中,∠APB=180°-(75°+60°)=45°,
由正弦定理得=⇒AP=50.
△QAB中,∠ABQ=90°,
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∴AQ=100,∠PAQ=75°-45°=30°,
由余弦定理得PQ2=(50)2+(100)2-2×50×100cos30°=5000,
∴PQ==50.
因此,P,Q两棵树之间的距离为50 m,A,P两棵树之间的距离为50 m.
18.(2018秋•重庆期中)已知函数f(x)=2cos2x+sin(2x﹣).
(Ⅰ)求f(x)的最大值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若f(A)=f(B)且A≠B,a=1,c=,求b.
【解析】:(Ⅰ) f ( x)=cos 2x+1+sin 2xcos﹣cos2xsin
=sin2x+cos2x+1=sin(2x+)+1
∴当sin(2x+)=时,可得f ( x) 的最大值为 2;
(Ⅱ) f ( A)=f (B)⇒sin(2A+)=sin(2B+),且 A≠B,
∴2A++2B=π,即 A+B=,那么:C=π﹣A﹣B=,
余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,即13=1+b2+b,∴b=3.
19.函数f(x)=2sin2(+x)﹣cos2x.
(1)请把函数f(x)的表达式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的形式,并求f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在x∈[,]时的值域.
【解析】:(1)函数f(x)=2sin2(+x)﹣cos2x=1﹣cos()cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin(2x﹣)+1,∴f(x)的最小正周期T=.
(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x﹣)+1
∵x∈[,],∴2x﹣∈[,]
∴≤sin(2x﹣)≤1,则2≤f(x)≤3
故得函数f(x)在x∈[,]时的值域为[2,3].
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20.(2018春•金华期末)已知函数的最大值为3.
(1)求a的值及f(x)的单调递减区间;
(2)若,,求cosα的值.
【解析】:(1)=
===.
当时,f(x)max=2﹣1+a=3,∴a=2.
由,k∈Z.得到,k∈Z.
∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z;
(2)∵,,∴,
又,∴,
∴,
∴==.
21.已知函数,(ω>0).
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(Ⅰ)求函数f(x)的值域;
(Ⅱ)若方程f(x)=﹣1在(0,π)上只有三个实数根,求实数ω的取值范围.
【思路分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再根据正弦函数的值域求得函数f(x)的值域.
(Ⅱ)求出方程f(x)=﹣1在(0,π)上从小到大的4个实数根,再根据只有三个实数根,求出实数ω的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)函数=sinωx+2cos(﹣)sin(﹣)
=sinωx+2cos(﹣)sin(﹣)=sinωx+sin(ωx﹣)=sinωx﹣cosωx=2sin(ωx﹣),故函数f(x)的值域为[﹣2,2].
(Ⅱ)若方程f(x)=﹣1,即sin(ωx﹣)=﹣,∴ωx﹣=2kπ﹣,或ωx﹣=2kπ﹣,k∈Z.即x=,或 x=,
(0,π)上,由小到大的四个正解依次为:x=,或x=,或x=,或x=,
∵方程f(x)=﹣1在(0,π)上只有三个实数根,
∴,解得 <ω≤.
22.已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)﹣(ω>0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)当x∈[﹣π,π]时,求f(x)最大值与最小值及相应的x的值;
(Ⅲ)是否存在锐角α,β,使a+2β=,f()•f(2)=同时成立?若存在,求出角α,β的值;若不存在,请说明理由.
【思路分析】(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用可得函数解析式f(x)=sin(2ωx﹣),利用正弦函数的周期公式可求ω的值.
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(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sin(x﹣),由﹣π≤x≤π,可求范围﹣≤﹣≤,根据正弦函数的图象和性质即可计算得解.
(Ⅲ)由已知利用三角函数恒等变换的应用可求tan2β=,结合范围β为锐角,0<2β<π,可得β=,α=﹣2β=,即可得解.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sin(x﹣),
由﹣π≤x≤π,得:﹣≤﹣≤,
∴﹣1≤sin(x﹣)≤,
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∴f(x)min=﹣,此时x﹣=﹣,解得x=﹣;
f(x)min=,此时x﹣=,解得x=π. ………………………(7分)
(Ⅲ)存在,理由如下:存在,理由如下:
∵f(α+)=sin,f(2β+)=sin(β+)=cosβ,
∴f(α+)•f(2β+)=sincosβ=,
∴sincosβ=,………………………(9分)
又a+2β=,a=﹣2β,
∴sincosβ=sin(﹣β)cosβ=,
∴(cosβ﹣sinβ)cosβ=,
∴cos2β﹣sinβcosβ=,
∴×﹣sin2β=,即:cos2β﹣sin2β=0,
∴tan2β=,
又β为锐角,0<2β<π,
∴2β=,β=,从而α=﹣2β=. ………………………(12分)
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