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专题8不等式测试题
命题报告：
1. 高频考点：一元二次不等式、不等式的性质、基本不等式、简单的线性规划以及不等式的应用。
2. 考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，分值10分左右，在客观题中考察不等式的解法以及不等式的性质、简单的线性规划等知识，二是把不等式作为工具渗透到函数、数列、解析几何等的解答题中，客观题比较容易，解答题需要综合各方面知识求解。
3.重点推荐：第16题，逆向考察，需要掌握分类讨论思想的应用，正确分类才能够求解。
一．选择题（共12小题，每一题5分）
1.设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a3＞b3 B． C．ab＞1 D．lg（b﹣a）＜0
【答案】：D
【解析】因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知ab＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；故选D．
2. 关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
【答案】：C
【解析】关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），
即不等式ax＜b的解集是（1，+∞），
∴a=b＜0；
∴不等式（ax+b）（x﹣3）＞0可化为
（x+1）（x﹣3）＜0，
解得﹣1＜x＜3，
∴该不等式的解集是（﹣1，3）．
故选：C．
3. 已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1
【答案】：A
【解析】当k=0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立，
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当k＜0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立，
当k＞0时，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立，
需△=36k2﹣4（k2+8k）≤0，
解得0≤k≤1，故选：A．
4. 知两实数m＞0，n＞0，且3m+n=3，则+有（ ）
A．最大值3 B．最大值1 C．最小值27 D．最小值9
【答案】：D
5. 已知方程2x2﹣（m+1）x+m=0有两个不等正实根，则实数m的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】：C
【解析】∵方程2x2﹣（m+1）x+m=0有两个不等正实根，∴△=（﹣m﹣1）2﹣8m＞0，
即 m2﹣6m+1＞0，求得m＜3﹣2，或m＞3+2．
再根据两根之和为＞0，且两根之积为＞0，求得m＞0．
综合可得，0＜m＜3﹣2，或m＞3+2，
故选：C．
6. 实数x，y满足，若z=3x+y的最小值为1，则正实数k=（ ）
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A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】目标函数z=3x+y的最小值为1，
∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为1，
则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=1，
作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A，由，解得A（ ，），同时A也在直线x﹣ky=0时，即﹣k=0，解得k=，故选：C．
7. （2019届•新罗区校级月考）函数y=ax﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+4n的图象上，其中m，n＞0，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．18 D．16
【答案】：C
【解析】函数y=ax﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，令x﹣2=0，可得x=2，带入可得y=1，恒过定点A（2，1）．那么1=2m+4n．
由，解得，即A（4，6）．
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 =，
故的最小值为：．……612分
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21. 已知函数f（x）=m•6x﹣4x，m∈R．
（1）当m=时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；
（2）若f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．
【解析】：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）
即为•6x+1﹣4x+1＞6x﹣4x，
化简得，（）x＜，
解得x＞2．
则满足条件的x的范围是（2，+∞）；…………6分
（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即为m•6x﹣4x≤9x，
即m≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，
由于（）﹣x+（）x≥2，当且仅当x=0取最小值2．
则m≤2．
故实数m的范围是（﹣∞，2]．……12分
22
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某人欲投资A，B两支股票时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，根据预测，A，B两支股票可能的最大盈利率分别为40%和80%，可能的最大亏损率分别为10%和30%．若投资金额不超过15万元．根据投资意向，A股的投资额不大于B股投资额的3倍，且确保可能的资金亏损不超过2.7万元，设该人分别用x万元，y万元投资A，B两支股票．
（Ⅰ）用x，y列出满足投资条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问该人对A，B两支股票各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出此最大利润．
【解析】（Ⅰ）由题意可知，约束条件为，画出约束条件的可行域如图：…………5分
（Ⅱ）设利润为z，则z=0.4x+0.8y，即y=﹣x+z
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，
由，解得x=9，y=6，
此时Z=0.4×9+0.8×6=8.4，
故对A股票投资9万元，B股票投资6万元，才能使可能的盈利最大．盈利的最大值为8.4万元………………12分
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