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专题13双曲线与抛物线测试题
基础达标测评
【高频考点】双曲线和抛物线的定义，标准方程以及简单是几何意义的应用，直线与双曲线、抛物线的位置关系。
【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，重点是抛物线，再客观题中考察抛物线 的定义和标准方程，主要考查抛物线的定义，若以解答题的形式出现，往往压轴题的位置，考察抛物线的定义有关的最值，距离以及定点（定值）问题，试题综合性强，难度大，双曲线的标准方程，几何形状也是在高考中考察，主要在客观题中出现，考察双曲线的离心率，渐近线等问题，难度不大。
【重点推荐】基础卷第20题存在问题是高考经常考察的重点内容；拔高卷14题，考察归纳推理和类比推理的应用，考察综合利用知识的能力。
一． 选择题
1. （2018•榆林二模）若抛物线x2=16y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】：A
【解析】拋物线x2=16y上一点（x0，y0），到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，可得y0+=3y0，所以y0===2．故选：A．
2. （2018•永州二模）若方程表示双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．2x±y=0 B．x±2y=0 C． D．x±y=0
【答案】：D
【解析】根据题意，方程表示双曲线，必有（k﹣2016）（k﹣2018）＜0，解可得2016＜k＜2018，又由k∈Z，则k=2017，
则双曲线的方程为x2﹣y2=1，其中a=1，b=1，焦点在x轴上，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0；故选：D．
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3. （2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【答案】：A
【解析】∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．
4. （2018•泰安一模）已知F是抛物线x2=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】：C
【解析】抛物线x2=y的焦点F（0，）准线方程y=﹣，
设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3，解得y1+y2=，
∴线段AB的中点纵坐标为，
∴线段AB的中点到x轴的距离为，故选：C．
5（2018•临沂三模）已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=x+2，一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．x2﹣y2=1
【答案】：A
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6. （2018•丹东一模）设F为抛物线C：y2=2px（0＞0）的焦点，直线x﹣2y﹣3p=0交C于A，B两点，O为坐标原点，若△FAB的面积为5，则p=（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】：B
【解析】F（，0）为抛物线C：y2=2px（0＞0）的焦点，直线x﹣2y﹣3p=0与x轴交于P（3p，0），联立直线x﹣2y﹣3p=0和y2=2px，可得y2﹣4py﹣6p2=0，可得△=16p2+24p2=40p2＞0，y1+y2=4p，y1y2=﹣6p2，△FAB的面积为5，即为|FP|•|y1﹣y2|=×（3p﹣）×=5，解得p=，故选：B．
7. 知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A．=1 B．
C．=1 D．=1或=1
【答案】：A
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8. （2018•宁德二模）过抛物线y2=4x的焦点F作一倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点（A点在x轴上方），则=（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】：C
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线y2=4x中p=2．|AB|=x1+x2+p==，∴x1+x2=，又x1x2==1，可得x1=3，x2=，则==3，故选：C．
9. （2018春•莆田期末）已知抛物线C：x2=2py的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l交C于A，B两点若|AB|=16，则p=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】：A
【解析】抛物线C：x2=2py的焦点为F（0，），过F且倾斜角为60°的直线l：y﹣=x，可得x=，代入抛物线方程，可得：y2﹣7py+p2=0，
则：y1+y2=7p，过F且倾斜角为60°的直线l交C于A，B两点若|AB|=16，可得16=7p+p，
解得p=2．故选：A．
10. （2018•天津）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【答案】：A
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【解析】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：A．
11. （2018•顺庆区校级模拟）P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】：A
【解析】∵PF1⊥PF2，△APF1的内切圆半径为r，∴|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r，∴|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=2r，∴|AF2|﹣|AF1|=2r﹣4，∵由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，∴r=2．故选：A．
12. （2018•静海区校级模拟）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（
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）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】：抛物线准线为x=﹣，过A，B作准线的垂线AP，BQ，则BQ=BF=2，不妨设B在第一象限，则B（，），设直线AB的方程为x=my+，联立方程组，
消去x可得y2﹣2my﹣2=0，∴yA•yB=﹣2，故而yA=﹣2，xA==2，∴AP=xA+=，∴===．故选：B．
二．填空题
13. 双曲线的实轴长是 ，焦点到渐近线的距离是 ．
【答案】：4；1
【解析】双曲线的a=2，b=1，c==，即有2a=4，焦点为（±，0），
渐近线方程为y=±x，则焦点到渐近线的距离是=1，故答案为：4，1．
14. （2018•通州区三模）抛物线y2=2px（p＞0）的准线与双曲线
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的两条渐近线所围成三角形的面积等于2，则p= 2 ．
【答案】：2
【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，双曲线的两条渐近线方程分别为：y=2x，y=﹣2x，这三条直线构成等腰三角形，底边长为：2p，
三角形的高为：，因此，所求三角形面积：，解得P=2．故答案为：2．
15. （2018•瓦房店市一模）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A，B满足=2，则弦AB中点到抛物线准线的距离为 ．
∴，即的取值范围是（﹣∞，﹣8]．…………12分
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