2019年高考数学艺术生百日冲刺专题06等差数列和等比数列测试题20190307366.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题6等差数列和等比数列测试题 命题报告：‎ 1. 高频考点：等差（等比数列）定义，通项公式以及求和公式以及数列的性质等。‎ 2. 考情分析：本部分是高考必考内容，多以选择题、填空题形式出现，突出小巧活的特征，有时候在解答题中出现，考察数列的基本量的计算，数列的性质，求数列的通项公式，利用定义法证明等差数列（等比数列）等，求和（裂项求和、错位相减法、分组求和等）。‎ ‎3.重点推荐：第12题，需要探索出数列的周期，再利用周期求解。‎ 一．选择题（共12小题，每一题5分）‎ ‎1. 已知等差数列{an}满足a2=2，前5项和S5=25，若Sn=39，则n的值为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】：B ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a2=a1+d=2，S5=5a1+d=25，‎ 联立解得a1=﹣1，d=3，∴Sn=na1+d=﹣n+×3=39，‎ 解得n=6，故选：B．‎ ‎2. (2019华南师范大学附属中学月考)在数列中，若，且对所有满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】：依题意，；；；，所以.‎ ‎3. （2018 •滨州期末）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn，则S12=（　　）‎ A．310 B．311 C． D．‎ ‎【答案】：B ‎【解析】∵a1=1，an+1=2Sn，∴Sn+1﹣Sn=2Sn，即Sn+1=3Sn，S1=1．‎ ‎∴数列{Sn}是等比数列，首项为1，公比为3．∴S12=1×311=311．故选：B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4. (2018—2019赣州市十四县(市)期中)已知等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. 1009 B. 1010 C. 2018 D. 2019‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由题得，所以，所以=.故答案为：A ‎5. 已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）‎ A．a22+a42≥2a32 B．a3+a5≥2a4 ‎ C．若a2＜a4，则a1＜a3 D．若a2=a4，则a2=a3‎ ‎【答案】：A ‎6. 设直线与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+…+S2018的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】：C ‎【解析】直线与两坐标轴的交点为：（0，）和（，0），则Sn=••==﹣，则S1+S2+…+S2018=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：C．‎ ‎7. （2018•双流区期末）已知{an}是首项为2的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且28S3=S6，则数列{}‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的前3项和为等于（　　）‎ A． B． C．或 D．或3‎ ‎【答案】：B ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q≠1，∵28S3=S6，‎ ‎∴28（1+q+q2）=1+q+q2+q3+q4+q5，∵1+q+q2≠0，可得：28=1+q3，‎ 解得q=3．∴an=2×3n﹣1．∴=（）n﹣1则数列{}的前3项和为=×=，故选：B．‎ ‎8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1﹣1，则bn=log4an，Tn为数列{bn}的前n项和，则T100=（　　）‎ A．4950 B．99log46+4851 ‎ C．5050 D．99log46+4950‎ ‎【答案】：B ‎【解析】a1=1，Sn=an+1﹣1，a1=a2﹣1， ‎ 可得a2=6，可得n≥2时，Sn﹣1=an﹣1，‎ 又Sn=an+1﹣1，两式相减可得an=Sn﹣Sn﹣1=an+1﹣1﹣an+1，‎ 即有an+1=4an，则an=6•4n﹣2，n≥2，‎ bn=log4an=，‎ T100=0+99×（log46﹣2）+×99×（2+100）‎ ‎=4851+99log46．故选：B． ‎ ‎9. 在一个排列中，如果一个大数排在一个小数前面，就称它们为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数．如排列2，3，7，5，1中2，1；3，1；7，5；7，1；5，1为逆序，逆序数是5．现有1～50这50个自然数的排列：2，4，6，8，…50，49，47…5，3，1，则此排列的逆序数是（　　）‎ A．625 B．720 C．925 D．1250‎ ‎【答案】：A ‎【解析】根据题意，在排列：2，4，6，8，…50，49，47…5，3，1中，‎ ‎1的逆序有49个，即2，4，6，8，…50，49，47…5，3；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3的逆序有47个，即4，6，8，…50，49，47…5；‎ ‎……‎ ‎49的逆序有1个，即50，‎ 其逆序为首项为49，末项为1，项数为25的等差数列，‎ 则此排列的逆序数：49+47+……+1==625；‎ 故选：A．‎ ‎10. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=﹣2016，﹣=2，则S2018的值为（　　）‎ A．﹣2 018 B．2 018 C．2 017 D．﹣2 019‎ ‎【答案】：B ‎11. （2018春•黔东南州期末）己知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an（n∈N*），则数列{an}的前2018项的和S2018等于（　　）‎ A．2（31008﹣1） B．2（31009﹣1） C．2（32018﹣1） D．2（32017﹣1）‎ ‎【答案】：B ‎【解析】由an+2=3an（n∈N*），即，当n=1时，可得a1，a3……a2n﹣1成等比，首项为1，公比为3．‎ 当n=2时，可得a2，a4……a2n成等比，首项为2，公比为3．‎ 那么：，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 前2018项中，奇数项和偶数项分别有1009项 故得S2018==2×31009﹣2=2（31009﹣1）．‎ 故选：B．‎ ‎12. （2018•蚌埠期末）定义函数f（x）如下表，数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*，若a1=2，则a1+a2+a3+…+a2018=（　　）‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f（x）‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ A．7042 B．7058 C．7063 D．7262‎ ‎【答案】：C ‎【解析】由题意，∵a1=2，且对任意自然数均有an+1=f（an），‎ ‎∴a2=f（a1）=f（2）=5，a2=5，‎ a3=f（a2）=f（5）=1，a3=1，‎ a4=f（a3）=f（1）=3，a4=3，‎ a5=f（a4）=f（3）=4，a5=4，‎ a6=f（a5）=f（4）=6，a6=6，‎ a7=f（a6）=f（6）=2，a7=2，‎ 故数列{an}满足：2，5，1，3，4，6，2，5，1…是一个周期性变化的数列，周期为：6．‎ a1+a2+a3+…+a6=21．‎ a1+a2+a3+…+a2018=336×（a1+a2+a3+…+a6）+a1+a2=7056+2+5=7063．‎ 故选：C．‎ 二．填空题（共4题，每小题5分）‎ ‎13. 在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设等比数列的公比为．∵，∴，化为，解得．∴．故答案为：4．‎ ‎14. （2018•宁波期末）数列{an}满足，则通项公式an=　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】：‎ ‎【解析】当n=1时，a1=1；当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n﹣1）2，‎ ‎，作差可得，nan=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，‎ 故an=，a1=1也满足上式；故an=，故答案为：．‎ ‎15. （2018•江门一模）设[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[﹣3.2]=﹣4，则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=　　．‎ ‎【答案】：92‎ ‎【解析】∵[lg1]=[lg2]=[lg3]=…[lg9]=0，‎ ‎[lg10]=[lg11]=…+[lg99]=1，[lg100]=2．‎ ‎∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90×1+2=92．‎ 故答案为：92．‎ ‎16（2018•黄浦区二模）已知数列{an}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1=24，a2=51，ak=0，则k=　　．‎ ‎【思路分析】根据题意，将an+1=an﹣1﹣变形可得an+1an﹣an﹣1an=﹣n，据此可得（a3a2﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，……akak﹣1﹣ak﹣1ak﹣2=﹣（k﹣1），用累加法分析可得akak﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，代入数据变形可得k2﹣k﹣2450=0，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【解析】：根据题意，数列{an}满足an+1=an﹣1﹣，‎ 变形可得：an+1an﹣an﹣1an=﹣n，‎ 则有（a3a2﹣a2a1）=﹣2，‎ ‎（a4a3﹣a3a2）=﹣3，‎ ‎（a5a4﹣a4a3）=﹣4，‎ ‎……‎ akak﹣1﹣ak﹣1ak﹣2=﹣（k﹣1），‎ 相加可得：akak﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，‎ 又由a1=24，a2=51，ak=0，‎ 则有k2﹣k﹣2450=0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解可得：k=50或﹣49（舍）；‎ 故k=50；故答案为：50．‎ 三解答题（本大题共6小题）‎ ‎17. 数列{an}的前n项和为Sn且Sn=n2+1．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（I）由Sn=n2+1．可得n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1时，a1=S1=2．即可得出an．‎ ‎（II）n=1时，T1=2．n≥2时，bn===，利用裂项求和方法即可得出．‎ ‎【解析】：（I）∵Sn=n2+1．∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1．‎ n=1时，a1=S1=2．‎ ‎∴an=．…………4分 ‎（II）n=1时，T1=2．‎ n≥2时，bn===，…………6分 ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=2++……+‎ ‎=2+．‎ n=1时，上式也成立．‎ ‎∴Tn=2+．…………10分 ‎18. 已知是一个公差大于的等差数列,且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列和数列满足等式,求数列 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的前项和.‎ ‎【解析】：（1）设等差数列的公差为,由,得①‎ 由,得②…………4分 易得.………………6分 ‎（2）令,则有, ,‎ 由（1）得 ,故,即,………………8分 面,所以可得,于是.即.…………12分 ‎ ‎19. （2018•山东淄博二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，若a1=2b1，a4﹣a2=12，S4+2S2=3S3．‎ ‎（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（II）设cn=，Tn为{cn}的前n项和，求T2n．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）cn=，‎ 即为cn=，…………8分 T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=[++…+]+（++…+）‎ ‎=（1﹣+﹣+…+﹣）+‎ ‎=﹣•+（1﹣）‎ ‎=﹣•﹣•．…………12分 ‎20. （2018•萍乡期末）已知数列{an}中，a1=1，，记T2n为{an}的前2n项的和，bn=a2n．‎ ‎（1）证明：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式bn；‎ ‎（2）若不等式T2n＜k对于一切n∈N+恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由等比数列的定义，结合条件，化简可得结论，由等比数列的通项公式即可得到所求通项；‎ ‎（2）讨论n为奇数或偶数，可得{an}的通项公式，运用分组求和可得T2n，运用不等式的性质即可得到所求范围．‎ ‎【解析】：（1）证明：∵，‎ 所以{bn}是以，公比为的等比数列，‎ 所以；…………6分 ‎（2）当n=2k（k∈N+）时，，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当n=2k﹣1（k∈N+）时，． ‎ 即，…………8分 ‎∴，‎ 得T2n＜3，因不等式T2n＜k对于一切n∈N+恒成立．所以，k的取值范围为[3，+∞）…………12分 ‎21. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S2=2，S4=﹣20．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；‎ ‎（2）是否存在n，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差数列，若存在，求出n，若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；‎ ‎（2）假设存在n，使Sn，Sn+2+2n，Sn+3成等差数列，运用等差数列中项性质，解方程可得n，即可得到所求结论．‎ ‎【解析】：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵S2=2，S4=﹣20，‎ ‎∴2a1+d=2，4a1+6d=﹣20，‎ 联立解得a1=4，d=﹣6，‎ ‎∴an=4﹣6（n﹣1）=10﹣6n，‎ Sn==7n﹣3n2；…………6分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎22（2018•大庆一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）在曲线上，数列{bn}满足bn+bn+2=2bn+1，b4=11，{bn}的前5项和为45．‎ ‎（1）求{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式恒成立的最大正整数k的值．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件求出{an}的通项公式，判断数列是等差数列求解{bn}的通项公式；‎ ‎（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．‎ ‎【解析】：（1）由已知得：，‎ 当n=1时，，…………2分 当n≥2时， =n+2，‎ 当n=1时，符合上式．‎ 所以an=n+2．…………4分 因为数列{bn}满足bn+bn+2=2bn+1，所以{bn}为等差数列．设其公差为d．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则，解得，‎ 所以bn=2n+3．…………6分 ‎（2）由（1）得， =，…………8分 ‎=，因为，‎ 所以{Tn}是递增数列．所以，‎ 故恒成立只要恒成立．‎ 所以k＜9，最大正整数k的值为8．…………12分 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费