4 多边形的内角和与外角和
【教学目标】
知识技能目标
掌握多边形内角和定理,进一步了解转化的数学思想.
过程性目标
经历质疑、猜想、归纳等活动,发展学生的合情推理能力,积累数学活动的经验,在探索中学会与人合作,学会交流自己的思想和方法.
情感态度目标
让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感,在解题中感受生活中数学的存在,体验数学充满着探索和创造.
【重点难点】
重点:多边形内角和定理的探索和应用.
难点:多边形定义的理解;多边形内角和公式的推导;转化的数学思维方法的渗透.
【教学过程】
一、创设情境
1.三角形是如何定义的?
2.仿照三角形定义,你能学着给四边形、五边形……n边形下定义吗?
3.结合图形认识多边形的顶点、边、内角及对角线.
目的:对概念分析和归纳,培养学生的口头表达能力和语言组织能力.同时渗透类比思想.
二、探究归纳
1.三角形的内角和是多少度?你是怎么得出的?
①用量角器度量:分别测量出三角形三个内角的度数,再求和.
②拼角:将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起,可组成一个平角.
目的:学生分组,利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和,为四边形内角和的探索奠定基础.
2.四边形的内角和是多少?你又是怎样得出的?
1度量;2拼角;3将四边形转化成三角形求内角和.
目的:学生先通过度量、拼角两种方法,猜想得出四边形的内角和是360°,然后引导学生利用分割的方法,将四边形分割成两个三角形来得到四边形的内角和,进一步渗透类比、转化的数学思想.
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3.在四边形内角和的探索过程中,用到了几种方法,你认为哪种方法好?请讲述你的理由.
度量法:不精确;
拼角法:操作不方便;
当多边形边数较大时,度量法、拼角法都不可取.
第三种方法:精确、省事且有理论根据.
目的:通过几种方法的展示,比较几种方法的优劣,为五边形内角和的探索提供最简捷的方法.
4.根据四边形的内角和的求法,你能否求出五边形的内角和呢?
学生动手实践,小组讨论、交流,寻找解答方法,并共同进行归纳总结.估计学生可能有以下几种方法:
方法1:如图1,连接AD,AC,五边形的内角和为:3×180°=540°.
方法2:如图2,连接AC,则五边形内角和为:360°+180°=540°.
方法3:如图3,在AB上任取一点F,连接FC,FD,FE,则五边形的内角和为:
4×180°-180°=540°.
方法4:如图4,在五边形内任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形内角和为:5×180°-360°=540°.
方法5:如图5,在AB上任取一点F,连接FD,则五边形的内角和为:2×360°-180°=540°.
方法6:如图6,在五边形外任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形内角和为:4×180°-180°=540°.
小结:纵观以上各种证明思路,其共同点是通过图形分割,把五边形问题转化为熟悉的三角形、四边形问题来解决.
目的:由于四边形的内角和易求得,这里采用略讲,而着重研究求五边形的内角和.在课堂上应该留给学生充足的时间讨论、交流,寻求多种不同的分割方法来得出五边形的内角和.这既符合新课程教学理念,又符合学生的认知规律和年龄特征,同时渗透转化思想.
5.小组合作,完成下面的表格.
多边形
图形
从一个顶点
分割成
多边形
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边数
引出的对角
线条数
的三角
形个数
的内角
和
三角形
(n=3)
四边形
(n=4)
五边形
(n=5)
六边形
(n=6)
……
……
……
……
……
n边形
(课件出示讨论结果)
6.从表格中你发现了什么规律?
从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形.从而得出:n边形的内角和是(n-2)·180°.
目的:在数学学习中,培养学生善于总结规律,构建知识体系是培养数学能力的一项重要内容,这样不仅使学生把本节课所学的知识形成一个完整的知识体系,而且进一步理解了多边形的内角和公式中的(n-2)的来历,更有利于培养学生善于归纳、总结的数学习惯和能力.
想一想:观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点?
正多边形定义:在平面内,每个内角都________、每条边也都________的多边形叫做正多边形.
目的:学生分组动手实践,通过度量和叠合,感知正多边形的特征(每个角都相等,每条边都相等),从而使得正多边形的定义的得出水到渠成.
议一议:
①一个多边形的边都相等,它的内角一定都相等吗?
②一个多边形的内角都相等,它的边一定都相等吗?
目的:通过辨析,进一步理解正多边形的定义.
练一练:
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①正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度?
②正n边形的内角是多少度?
③一个正多边形的每个内角都是150°,求它的边数 ?
目的:本组练习的设计,不仅巩固了多边形内角和公式的应用,进一步理解了正多边形的定义,而且通过第③题的一题多解,培养学生的发散思维,引出下一课时“探索多边形的外角和”的学习,激发学生预习下一课时的兴趣,培养学生良好的学习习惯.
议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴交流.
目的:引导学生在探究实践的过程中,真正理解和掌握数学的知识、技能和数学思想方法,增强空间观念及数学思考能力的培养,并获得数学活动经验.
三、交流反思
1.过本节课的学习,你学到了哪些知识?有何体会?(多边形的有关概念、正多边形、多边形的内角和定理,并能利用公式进行计算)
2.在学习多边形的有关概念时,我们是通过复习三角形的有关概念来类比得出的.在研究、探索多边形的内角和公式时,首先从具体的、特殊的四边形、五边形入手,来得出多边形的内角和公式.在研究问题的过程中,把多边形问题通过分割成三角形来研究,即把复杂问题转化为简单问题,这种研究和探索问题的方法都是我们在学习数学过程中,经常要用到的,希望同学们要领悟这种思想方法.
四、检测反馈
1.如图,四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,∠B与∠D有怎样的关系?
2.一个多边形的内角和为1 440°,则它是几边形?
3.一个多边形的边数增加1,则它的内角和将如何变化?
结论:多边形每增加一条边,它的内角和增加180°
五、布置作业
作业:1.P155习题6.7 1,2,3题
2.探究五角星的五个角的度数之和;
3.设计一个实验(如剪纸、拼图等),说明四边形的内角和是360°.
六、板书设计
探索多边形的内角和
多边形:在平面内,
n边形的内角和=(n-2)·
180°
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由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫做多边形.
正n边形的一个内角= =180°-
七、教学反思
如何促进学生在主动、探究、合作、实践中学习数学、学好数学,突出新教材的优势呢?我在这节课中做了大胆的尝试和探索,首先,这节课师生教学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础上,教师充分激发学生的学习兴趣和积极性,向学生提供了进行数学活动的机会,构建了学生自主探究、合作实践与交流的平台;教师较好地引导学生在探究实践的过程中,真正理解和掌握数学的知识、技能和数学思想方法,增强空间观念及数学思考能力的培养,并获得数学活动经验;其次,这节课的学习内容,通过创设情境问题得以构建和发展,体现了新课程目标理念的开放性原则;第三,这节课教师恰当的评价学生的学习过程,不仅关注了学生在学习过程中表现的行为、态度、情感,更关注对学生激励评价及学生的自我评价.
不足之处:1.本节课给学生提供的探究思考与交流的时间空间不足,展示交流的机会不够充分,有的同学没有表现的机会.2.本节课学生小组活动的准备、具体实施、归纳交流、评价等环节设计不够完善.
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