平行四边形的判定
一课一练·基础闯关
题组对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.如图,在平面直角坐标系中,以A(-1,0),B(2,0),C(0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是 ( )
A.(3,1) B.(-4,1) C.(1,-1) D.(-3,1)
【解析】选B.如图所示:
①以AC为对角线,可以画出▱AFCB,F(-3,1);
②以AB为对角线,可以画出▱ACBE,E(1,-1);
③以BC为对角线,可以画出▱ACDB,D(3,1).
2.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,还不能判定四边形ABCD为平行四边形.以下给出了四种说法.
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①如果再添加条件:“BC=AD”,那么四边形ABCD一定为平行四边形;
②如果再添加条件“∠BAD=∠BCD”,那么四边形ABCD一定为平行四边形;
③如果再添加条件“OA=OC”,那么四边形ABCD一定为平行四边形;
④如果再添加条件“AD∥BC”,那么四边形ABCD一定为平行四边形.
其中正确的说法有 世纪金榜导学号10164142( )
A.①② B.①③④ C.②③ D.②③④
【解析】选D.①如果再添加条件:“BC=AD”,那么四边形ABCD也可能是等腰梯形,故此说法错误;
②由AB∥CD可得∠ABC+∠BCD=180°,再有“∠BAD=∠BCD”,可证出∠ABC+
∠BAD=180°,可得AD∥BC,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证出四边形ABCD一定为平行四边形,故此说法正确;
③可判定△ABO≌△CDO,就有AB=CD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此说法正确;
④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证出四边形ABCD一定为平行四边形,故此说法正确.
3.点M,N是平行四边形ABCD对角线上的两点,要使四边形AMCN是平行四边形,还需加上的一个条件是________.
【解析】答案不唯一,比较直接的添法是BM=DN.
答案:BM=DN(不唯一)
4.如图所示,▱AECF的对角线相交于点O,DB经过点O,分别与AE,CF交于B,D.求证:四边形ABCD是平行四边形.
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世纪金榜导学号10164143
【证明】∵四边形AECF是平行四边形,
∴OE=OF,OA=OC,AE∥CF,
∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,
∴△FDO≌△EBO,
∴OD=OB,
∵OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2017·西宁中考)如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,点O是AC的中点,AD∥BC,AC=8,BD=6.
世纪金榜导学号10164144
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)若AC⊥BD,求▱ABCD的面积.
【解析】(1)∵点O是AC的中点,∴OA=OC,∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO,
∴△AOD≌△COB(AAS),
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∴OD=OB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC=AC=×8=4,
∵AC⊥BD,∴S▱ABCD=S△ABD+S△BCD
=BD·AO+BD·OC=×6×4+×6×4=24.
【母题变式】
如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,点O是BD的中点,AD∥BC.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】∵点O是BD的中点,∴OD=OB,∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO,
又∵∠AOD=∠COB,
∴△AOD≌△COB,
∴OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
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